Утверждение 1. В каждом линейном пространстве нулевой вектор только один.
Если 
и 
- нулевые элементы линейного пространства 
, то
.
Утверждение 2. Для любого вектора 
существует только один противоположный элемент.
Предположим, что 
и 
, тогда
.
Элемент противоположный обозначается 
.
Утверждение 3. Произведение любого вектора на число 
равно нулевому вектору.
Утверждение 4. Произведение любого вектора на число 
равно вектору, противоположному вектору , (т.е. 
).
Согласно утверждению 2 достаточно убедиться, что 
. Имеем:
.
Утверждение 5. Произведение нулевого вектора 
на любое число 
равно .
Для произвольного вектора и любого 
R,имеем:
.
Следствия:
1. Если 
и 
, то 
.
Если 
и , то 
.
2. Если 
, то 
.
Если 
, то 
.
Пусть 
, вектор 
называется разностью векторов 
и 
, если 
(обозначение: 
).
Утверждение 6. Для любых элементов и линейного пространства разность существует и единственна.
(Существование) Для вектора 
имеем: 
.
(Единственность) Предположим, что 
и докажем, что тогда . Имеем: 
.
