Уравнения прямых и плоскостей в АСК

Пусть задана произвольная АСК , пусть - направляющий вектор прямой, - фиксированная точка на прямой, - произвольная точка прямой, и радиус векторы точек и соответственно.

Имеем . Тогда векторное уравнение прямой записывается в виде

, (1)

а параметрическое - в виде

, (2)

где - вещественный параметр.

Уравнения (1) и (2) выражают условие коллинеарности векторов и (т. е. и ).

Если , , и , , - аффинные координаты точек и соответственно в данной системе, то

, .

Раскладываем вектор по базису :

.

Из уравнения (2) получаем

(3)

Уравнения (3) так же называют параметрическими уравнениями прямой. В этих уравнениях .

Плоскость в АСК может быть задана фиксированной точкой этой плоскости и двумя не коллинеарными векторами и , лежащими в этой плоскости. Точка лежит на данной плоскости тогда и только тогда, когда вектор компланарен векторам и , отсюда получаются уравнения

, (4)

, (5)

где и - вещественные параметры.

Полагая и , из уравнения (5) получаем параметрическое уравнение плоскости

Отметим, что начальная точка и векторы , образуют на данной плоскости внутреннюю систему координат. Значения параметров и являются координатами точки относительно этой выбранной системы координат, так как .

В качестве нормального вектора данной плоскости можно выбрать вектор . Из уравнения (4) получаем

.

Обозначим и запишем последнее уравнение в виде

.

Раскладывая вектор по данному базису , получим

,

где , , - координаты точки . Подставив вектор в координатной форме в выражение , получаем

.

Полагая , , перепишем последнее уравнение в виде

. (6)

Всякая плоскость в АСК имеет уравнение вида (6), верно и обратное утверждение – всякое уравнения вида (6) задаёт плоскость.

Замечание 1. В случае, когда - декартова система координат вектор является нормальным вектором для плоскости (6). В общем случае это не так.

Замечание 2.Произвольная прямая в АСК на плоскости имеет уравнение , при этом вектор может не быть нормальным для данной прямой.

Пространство P

Алгебраическим полиномом, (или многочленом) степени не выше называют функцию вида

,

где - фиксированные числа, называемые коэффициентами полинома , а - независимая переменная. Если , тогда имеет степень .

Если кроме полинома задан полином , то их суммой называют полином

,

а произведение полинома на число определяется равенством

.

Множество всех алгебраических полиномов в степени не выше , на котором линейные операции определены по указанным выше правилам, обозначается P