Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть дана прямая

,

и плоскость

, .

Возможны три случая:

I. Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны, а точка не лежит на данной плоскости:

II. Прямая лежит на плоскости тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны и точка принадлежит плоскости:

III. Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда векторы и не ортогональны:

(1)

При условии (1) координаты точки пересечения находятся из системы

(2)

Пример. Найти точку пересечения прямой

и плоскости .

В данном случае система (2) имеет вид

Подставив первые три уравнения в четвертое, получим

, .

Значит, данная прямая и плоскость пересекаются в точке .

При условии (1) иногда требуется найти угол между прямой и плоскостью. Если векторы и коллинеарны, то есть

, (3)

то угол равен 90°. Если условие (3) не выполнено, то обозначим через угол между и . Векторы и можно выбрать так, что угол между прямой и плоскостью связан с углом равенством . Тогда

и, значит,

. (4)

Формула (4) верна и в том случае, когда прямая лежит на плоскости.

Упражнение. Найти расстояние от точки до прямой .

Способ1.Пусть – проекция точки на данную прямую. Если через эту точку провести плоскость перпендикулярно данной прямой, то точка совпадет с точкой пересечения этой плоскости с данной прямой, а искомое . Вектор ортогонален рассматриваемой плоскости. А точка лежит на этой плоскости. Поэтому уравнение плоскости имеет вид

или

.

Координаты точки найдем из системы

Следовательно, точка имеет координаты , , . Поэтому и .

Способ 2. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и ,

совпадает с каждой из следующих величин: и . Следовательно,

. (5)

Имеем: и

.

Поэтому , и, по формуле (5),

.