Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов и называют произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними:

, (1)

где – угол между и ( ).

Если или , то считают . Кроме обозначения для скалярного произведения применяются обозначения: , или .

Возможны три случая:

1) Û , т.е. – острый или нулевой угол;

2) Û , т.е. – тупой или развернутый угол;

3) Û или или .

Произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают .

Справедливы свойства:

1°. ,

2°. (коммутативность),

3°. при ,

4°. (дистрибутивность).

Свойства 1°-3° следуют непосредственно из определений. Свойство 4° выводится из следующего предложения.

Предложение. Если - ортогональный базис пространства , то координаты произвольного вектора в этом базисе вычисляются по формулам:

, , . (2)

Требуется доказать, что коэффициенты разложения

находятся по формулам (2). В случае формулы (2) очевидны, так как в этом случае .

Пусть . Предположим, что ортонормированный базис. Тогда формулы (2) принимают вид:

, , . (2¢)

Легко видеть, что

, , ,

где – угол между и . Отсюда и из формул

следуют равенства (2¢).

Пусть теперь среди попарно ортогональных векторов имеется не единичный вектор. Положим

, , ,

(то есть – орт вектора ). Векторы образуют ортонормированный базис пространства . По доказанному, для произвольного вектора коэффициенты разложения

находятся по формулам

, , .

Отсюда получаем

.

Поэтому верны формулы (2).

Следствие 1. Компоненты вектора вычисляются по формулам:

, , .

Следствие 2. Для любых векторов справедливо равенство

, (3)

т.е. скалярное произведение дистрибутивно.

Если , то обе части равенства (3) равны нулю.

Пусть . Положим , а векторы выберем так, чтобы тройка векторов являлась ортогональным базисом. Первые координаты векторов в выбранном базисе равны соответственно числам:

Но при сложении векторов их координаты складываются, поэтому

.

Отсюда следует формула (3).