II. Аналитическая геометрия

I. Элементы векторной алгебры

Лекция 1.

Понятие геометрического вектора

Линейные операции над геометрическими векторами

Аффинная система координат (АСК)

Деление отрезка в данном отношении

Лекция 2.

Координаты оси и декартова система координат

Компоненты и направляющие косинусы вектора

Скалярное произведение векторов

Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Проекция вектора на направление другого вектора

Лекция 3

Векторное и смешанное произведения

Свойство дистрибутивности векторного произведения

Векторное и смешанное произведения в координатах

II. Аналитическая геометрия

Лекция 4.

Общее уравнение плоскости

Неполные уравнения плоскостей

Расстояние от точки до плоскости

Взаимное расположение двух плоскостей

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Лекция 5.

Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через две точки

Общие уравнения прямой в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости

Лекция 6.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости

Вычисление угла между прямыми на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение нормали к прямой

Уравнения прямых и плоскостей в АСК

0.. Линии и их уравнения на плоскости

(Основные понятия)

В аналитической геометрии всякую линию на плоскости рассматривают, как геометрическое место точек, координаты которых и связывает уравнение, называемое уравнением этой линии. Это значит, что:

1) Координаты каждой точки, принадлежащей линии, удовлетворяют этому уравнению.

2) Координаты любой точки, не принадлежащей линии, не удовлетворяют ее уравнению.

Пример 1.

Составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом равным трем единицам масштаба.

Решение.

Мы знаем, что окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от центра. По условию задачи центр находится в начале координат . Возьмем на окружности произвольную точку , которая называется текущей точкой (рис.1). Тогда

или

Это уравнение и является уравнением искомой окружности. Очевидно, если точка не лежит на окружности, то либо , либо .

Проверим, лежат ли на окружности точки , , .

Для точки : , для : и для : .

Очевидно, точки A и B лежат на окружности, а точка D не лежит.

Пример 2.

Составить уравнение геометрического места точек равноудаленных от двух точек и (рис.2)

Решение.

Обозначим через текущую точку искомой линии. По формуле

найдем =

Преобразуем это уравнение

,

Из геометрических соображений ясно, что искомой линией будет прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину. Следовательно, уравнение является уравнением этой прямой. Проверим, проходит ли она через середину - точку . По формулам

,

найдем координаты точки

, .

Подставим координаты это точки в полученное уравнение . Точка лежит на прямой. В то же время точка не лежит на прямой, так как .

1. Прямая линия на плоскости

1.1. Два основных уравнения прямой.

Каноническое уравнение прямой.

Положение прямой будет вполне определено, если задать на ней точку и вектор , которому прямая коллинеарна. Возьмем на прямой текущую точку и построим вектор (рис.5). Этот вектор коллинеарен вектор , следовательно, их проекции пропорциональны:

,

(1)

Если и отличны от нуля, то это уравнение называется каноническим уравнением прямой.