Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы и заданы своими проекциями на оси координат . Определим линейные операции над векторами, которые сводятся к соответствующим операциям над проекциями этих векторов.

.

При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).

При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Равенство векторов.Из определения вектора как направленного отрезка, который можно переносить в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора и равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства:

Коллинеарность векторов.Выясним условия коллинеарности векторов и . Так как векторы коллинеарны, то можно записать , где - некоторое число. То есть

Отсюда

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки.Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Для любой точки координаты вектора называются координатами точки . Вектор называется радиус-вектором точки . Координаты точки записываются в виде .

Координаты вектора.Найдем координаты вектора , если известны координаты точек и . Имеем

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала:

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведннию длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения

1.

2. , - скаляр

3.

4.

5. Если и , то . Если , то .

Выражение скалярного произведения через координаты имеет вид

Приложения скалярного произведения

1. Угол между векторами:

2. Проекция одного вектора на направление другого:

.

Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов: