Векторная алгебра

Векторы

Величины, значения которых полностью определяются положительными или отрицательными числами, называются скалярными (масса, площадь, длина, температура и т.л.).

Вектором называется отрезок, имеющий определенную длину и направление:

Если А – начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом или . Длина вектора называется его модулем и обозначается .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Нулевым вектором называется вектор, модуль которого равен нулю, а направление не определено. Два вектора и считаются равными, если их модули равны, а направления – совпадают. Свободные векторы получаются из данного вектора путем параллельного переноса.

Векторы и называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Вектор можно задать с помощью его проекций на координатные оси :

единичные векторы в направ-

лении осей (орты осей).

– длина вектора .

(направляющие косинусы вектора) находятся по формулам:

Отсюда получим соотношение

.

.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов. Два вектора складываются по правилу треугольника: из произвольной точки О отложим вектор , а затем из точки отложим вектор . Вектор , с началом в начале вектора и концом в конце вектора , является суммой векторов и и обозначается следующим образом . Таким образом, имеем формулу

Отметим, что сложение векторов не зависит от выбора точки О.

Сумму двух векторов можно построить и с помощью так называемого правила параллелограмма. Для этого оба вектора откладывают от одной точки и строят параллелограмм, стороны которого являются эти векторы. Их суммой будет вектор, выходящий из исходной точки и совпадающий с соответствующей диагональю параллелограмма.

Чтобы получить сумму большего числа векторов, нужно отложить от произвольной точки первый вектор, а каждый последующий вектор отложить от конца предыдущего Суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом последнего вектора.

Для нулевого вектора имеем равенство: . Вектор называется противоположным к вектору и . Противоположный вектор имеет ту же длину, что и вектор , противоположно направлен и имеет свойства

Сложение векторов обладает теми же свойствами, что и сложение чисел: оно коммутативно и ассоциативно .

Вычитание векторов. Под разностью векторов и понимается сумма векторов и - , которая обозначается - . Это тот вектор, который при сложении с дает . Отметим, что в параллелограмме, построенном на данных векторах и , их разностью является соответственно направленная вторая диагональ параллелограмма.

Произведением вектора на скаляр называется вектор, имеющий длину , направление которого при совпадает с направлением вектора , а при противоположно ему. Очевидно, что при любом векторы и лежат на одной прямой. Эта операция обладает следующими свойствами:

1.

2.

3.

4.

Если - ненулевой вектор, то всегда можно получить единичный вектор того же направления, что и у вектора , по формуле Отсюда получаем правило: для того чтобы получить ненулевой вектор заданного направления, надо единичный вектор этого направления умножить на длину вектора

Теорема (критерий коллинеарности). Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое ненулевое число , такое что , причем

Проекция вектора на ось. Пусть - ось, т.е. направленная прямая в пространстве. Направление прямой обычно обозначается стрелкой. Проекцией точки на ось называется точка , которая является основанием перпендикуляра, опущенного из точки на ось . Вектор называется векторной проекцией.(компонентой, составляющей) вектора на ось . Проекцией вектора на ось называется число , взятое со знаком плюс, если вектор и ось одинаково направлены и со знаком минус в противоположном случае.

Угол между векторами - это угол между направлениями этих векторов или угол между соответствующими лучами с общим началом, причем . Угол между векторами обозначают следующим образом:

Рассмотрим теперь свойства проекций вектора на ось:

1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси , - единичный вектор оси .

2. При умножении вектора на какое-нибудь число, его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на эту же ось.

Разложение вектора по ортам координатных осей. Пусть - прямоугольная декартова система координат в пространстве, т.е. три взаимно перпендикулярные оси с общим началом в точке и тремя единичными направляющими векторами осей соответственно . Выберем в пространстве произвольный вектор и совместим его начало с началом координат: . Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно и . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда . По определению суммы нескольких векторов находим . А так как , то . Но

. Обозначим проекции вектора на оси соответственно через . Тогда получим

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора , т.е. координатами вектора являются его проекциями на соответствующие координатные оси. Иногда применяют обозначение .

Зная проекции вектора , просто найти его длину (модуль). Согласно теореме о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда получим , т.е. .Отсюда , т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями соответственно равны . По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или в другом виде

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения для компонент вектора в выражение для модуля вектора, получим

Отсюда

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.