Теорема 2. Система, яка складається із одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, якщо цей вектор нульовий.

Теорема 3. Для того, щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні.

Теорема 4. Для того, щоб три вектори були лінійно залежними, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарними.

Означення 7. Впорядкована пара неколінеарних векторів називається базою, або базисом на площині.

Таке ж означення і в базисі R³:

Має місце теорема:

Теорема 5. Кожен вектор на площині єдиним способом розкладається на пару неколінеарних векторів

(4)

Співвідношення (4) називають розкладом вектора в базисі . Числа називають координатами вектора вектора в базисі і записують

Трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо спостерігач, який знаходиться в початку кінців векторів у вказаному порядку рухається за часовою стрілкою. В противному випадку – ліва трійка. Всі праві

Базисом у просторі (або ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

Теорема 6. Якщо в просторі задано базис то будь-яку впорядковану трійку некомпланарних векторів ,, можна однозначно подати як лінійну комбінацію базисних векторів, тобто у вигляді:

(5)

Рівність(5) називається розкладом вектора в базисі . Числа називаються координатами вектора в базисі , і записують це:

Приклад 2.Чиможутьвектори , , утворювати базис? Якщо так то знайти розклад по даному базису?

Розв’язання:

Нехай дано вектор . Перевіримо, чи утворюють вектори , , базис. Нехай лінійна комбінація цих векторів дорівнює нулю тобто отримаємо:

,

Через координати ця рівність має вигляд:

, або

Для знаходження отримаємо систему рівнянь

Визначник системи . Значить, дана однорідна система має тільки нульові розв’язки . Отже, вектори , , -лінійно незалежні, а тому утворюють базис.

Відповідь: .

Якщо вектори попарноперпендикулярні і довжина кожного із них дорівнює одиниці то базис називається ортонормованим, а координати х₁, х₂, х₃ – прямокутними. Базисні вектори ортонормованого базису будемо позначати .