Расстояния между различными объектами в пространстве.

1) Расстояние от точки до плоскости.

Найдем расстояние от т. М₀ (x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax+By+Cz+D=0. Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проведем через М₀ прямую, перпендикулярную плоскости. т. N₀ – точка пересечения прямой и плоскости.

.

а) Составим параметрические уравнения прямой:

l= N= (A, B, C) ║прямой,

т. М₀ (x₀, y₀, z₀) Є прямой.

x= At+ x₀

y= Bt+ y_0.

z= Ct+ z₀

б) т. N₀ – общая для прямой и плоскости, поэтому подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости и найдем параметр, соответствующий т. N₀:

A(At+ x₀) + B(Bt+ y₀) + C(Ct+ z₀) + D=0;

(A²+ B²+ C²)t+ Ax₀+ By₀+ Cz₀+ D=0;

,

координаты т. N₀ .

в)

- расстояние от точки до плоскости.

Пример. Найти расстояние от точки до плоскости, когда дано т. М₀ (1, -1, 2), плоскость α: 3x- y+ z- 1=0.

2) Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

На одной плоскости нужно взять произвольную точку и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

3) Расстояние между прямой и параллельной плоскостью.

На прямой нужно взять произвольную точку и найти расстояние от этой точки до плоскости.

4) Расстояние от точки до прямой.

т. М₀ (3, 1, -1), прямая .

Проведем через т. М₀ плоскость, перпендикулярную прямой (проектирующая плоскость). Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

.

а) Составим уравнение плоскости:

l= N= (1, 2, 0) ^ плоскости,

т. М₀ (3, 1, -1) Є плоскости.

A(x- x₀) + B(y- y₀) + C(z- z₀)= 0,

1(x- 3) + 2(y- 1) + 0(z+ 1)= 0,

x+ 2y- 5= 0 - уравнение плоскости.

б) Составим параметрические уравнения прямой:

x= t+ 1

y= 2t- 1

z= 0t- 3

в) т. N₀ – точка пересечения прямой и плоскости. Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости.

(t+ 1)+ 2(2t- 1)- 5= 0, t+ 1+ 4t- 2- 5= 0, 5t- 6= 0, 5t= 6.

, т. N₀

т. N_{0 .}

г)