Скалярное произведение координатных ортов.

i × j= 0, так как i ^ j (из 2°);

i × k= 0, так как i ^ k (из 2°);

k × j= 0, так как k ^ j (из 2°);

i × i=│i│² = 1²=1;

j × j=│j│² = 1²=1;

k × k=│k│² = 1²=1.

Скалярное произведение в координатной форме.

Возьмем два вектора в координатной форме

а= (а_х, а_у, а_z)= a_xi + a_yj + a_zk, b= (b_x, b_y, b_z)= b_xi + b_yj + b_zk.

a • b= (a_xi + a_yj + a_zk )•( b_xi + b_yj + b_zk)= a_xi•b_xi + a_xi•b_yj + a_xi •b_zk + a_yj• b_xi +

+ a_yj• b_yj + a_yj •b_zk + a_zk •b_xi + a_zk•b_yj + a_zk •b_zk = a_x b_x i• i + a_x b_y i•j + a_x b_z i•k+

+a_y b_x i• j + a_y b_y j• j + a_y b_z i• k + a_z b_x i•k + a_z b_y k• j + a_z b_z k•k=

= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

Если векторы заданы в координатной форме, то для вычисления скалярного произведения используем формулу:

a • b= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

Приложения скалярного произведения.

1) Угол между векторами:

.

Ðj - острый, cos j> 0, отсюда следует, что a • b> 0.

Ðj - тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a • b< 0.

Ðj= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a • b= 0.

2) Проекция вектора на вектор:

.

Пример. Дан треугольник АBС, т. A(2, -1, 3), т. B(4, 0, 1), т. С(-1, 3, 0). Найти угол А, пр_AC AB-?