1° коммутативность: a • b = b •· a.
a • b= │a│·│b│· cos φ= │b│·│a│· cos φ= b • a.
2° условие перпендикулярности: a • b= 0, т.к. a ┴ b или a или b= 0.
1. a ┴ b, φ= 90°, cos 90°= 0, a • b= │a│·│b│·0= 0.
2. a= 0, │a│= 0, a • b= 0 ·│b│· cos φ= 0.
3° (λa)•b= λ(a•b).
(λa)•b= │λa│·│b│· cos φ=λ│a│·│b│· cos φ= λ(a•b).
4° a•(b + c)= a•b + a•c.
a•(b + c)= │a│· 
(b + c)= │a│·( пра b + пра c)= │a│·пра b +│a│· пра c=
= a•b + a•c.
5° скалярный квадрат: а • а= │a│2.
а • а=│a│·│а│· cos 0°=│a│2.
Следствие: 
.
Пример. Пользуясь определением скалярного произведения и его свойствами вычислить a • b, │a│, если, а= 2p - q, b= p + 3q, где │p│=2, │q│=3,
Ðφ= p;q= 
.
