a´b= (axi + ayj + azk)×( bxi + byj + bzk)= ax bx i× i + ax by i× j + ax bz i ×k +
+ay bx j×i + ay by j×j + ay bz j×k + az bx k×i + az by k× j + az bz k×k=
= ax by k – ax bz j- -ay bx k+ ay bz i+ az bx j - az by i=
= i(ay bz - azby )- j( ax bz - az bx)+ k(ax by - ay bx )=
=i 
- j 
+ k 
.
.
Приложения векторного произведения.
1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, как на сторонах, численно равна модулю векторного произведения a ´ b.
Sпар=│a ´ b│.
Из геометрии: Sпар=│a│·│b│sin φ.
Так как │a ´ b│= │a│·│b│sin φ, отсюда следует, что Sпар=│a ´ b│.
Следствие: из геометрии Sпар=│a·│ha, 
,
где ha – высота, проведенная к стороне a.
2) 
.
3) a║b. Отсюда следует, что a´b=0 (из условия коллинеарности двух векторов).
│a´b│= │a│·│b│sin φ= 0,
│a´b│= 0.
Пример. Дано a=2p–q, b=p+3q, │q│=2,│p│=1, Ðj = (p, q)= 
. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
Пример. Дан ∆ABC. т. А(2, -1, 3), т. B(4, 0, -2), т. С(1, -1, 3). Найти S∆-?, hAB-?
