Одно- и многокритериальная оптимизация.

Трудность заключается не только в том, какие принципы положить в основу оптимального проектирования конструкций, но и в том, как формализовать их сущность на математической основе, то есть задать критерий оптимальности на языке, понятном ЭВМ. В теории оптимизации такой критерий принято называть целевой функцией. Тогда условие оптимальности варианта можно записать в виде условия экстремума некоторой целевой функции. В простейшем случае качество системы характеризуется одним параметром. Это однокритериальная оптимизация.

Типичные задачи, рассматриваемые при оптимизации формы упругих тел.

1. Минимизация массовых показателей конструкции. Целевая функция может иметь вид:

I₁= min G = p VòdV, при p=const – это интегральная целевая функция.

I₂ = min max σ_эi (обеспечить минимум максимальных эквивалентных напряжений) – это локальная (минимальная) целевая функция (при этом форма детали стремится к равнопрочной)

2. Максимизация жесткостных свойств конструкций.

I₃ = min 1/2V j (М – изгибающий момент на конце консольной балки. j - угол поворота концевого сечения).

Одна из принципиальных трудностей, связанных с оптимальным проектированием, обусловлена тем, что минимизации обычно подлежит сразу несколько целевых функций. Это многокритериальная оптимизация (например, минимизация массы и максимального эквивалентного напряжения в определенном сечении). Формулирование условий оптимальности при нескольких критериях только в редких случаях позволяет получить абсолютно точное решение. Поэтому случай многих (более одного) минимизируемых критериев всегда очень сложный.

Одним из способов решения задачи оптимального проектирования в ее многокритериальной постановке является исключение всех, кроме одного, минимизируемых показателей. В нашем случае это означает переход от задачи

G=min, max σ_эi=min

к задаче

G=min, max σ_эi ≤ [σ] или G≤[G], max σ_эi = min.

При этом остается неясным, какой именно показатель сохранить в качестве минимилизируемого. Это можно выяснить методом весовых коэффициентов, что тоже представляет собой большую и трудную проблему. Наилучшую конструкцию нельзя получить на ЭВМ, если не указать правило, в соответствии с которым отдается предпочтение одному из проектов либо делается вывод об их эквивалентности. Предположим, имеется два проекта. Пусть в соответствии с 1 – м проектом получаем результат: G₁ и (max σ_эi)₁; а в соответствии со вторым проектом – G₂ и (max σ_эi)₂. Второй проект предпочтительнее первого проекта и когда G₂ < G₁, (max σ_эi)₂=(max σ_эi)₁, и когда G₂=G₁,(max σ_эi)₂ <(max σ_эi)₁/

Тогда отношение предпочтения при большом числе целевых функций заключается в том, что нас устраивает хотя бы одно неравенство при остальных равенствах. Применительно к поведению людей суть дела выразил японский ученый Никайдо: предпочтительно поведение, при котором одному (неважно, кому именно) становится лучше, если никому другому не становится при этом хуже. Названный именем итальянского ученого Парето, этот подход доказывает, что хотя бы одно наилучшее проектное решение существует в очень многих ситуациях.