а=ахi+ayj+azk, b= bхi+byj+bzk, c= cхi+cyj+czk
abc=(a×b)c= 
(cxi+cyj+czk)=
=( 
i- 
j+ 
k) (cxi+cyj+czk) = cx- cy+ cz
abc= 
Т.о. объем параллелепипеда: V=±
Vпир.= 
Sосн. пир. Н= 
Sосн. парал.Н=± 
Следствие. Критерий компланарности: три вектора a,b и c компланарны тогда и только тогда, когда abc= =0 (в частности, любые два из них коллениарны).
Приложение смешанного произведения.
1. Определение ориентации тройки векторов. Если abc>0, то тройка векторов, которая его образует, является правой.
Если abc<0, то тройка векторов, которая его образует, является левой.
2. Определение компланарности векторов.
3. Вычисление объемов параллелепипеда и тетраэдра, построенного на векторах.
Пример. Определить ориентацию тройки векторов ijk.
ijk= 
=1>0 – правая тройка векторов.
Двойное векторное произведение.
Пусть даны три произвольных вектора a, b иc. Если вектор bвекторно умножается на вектор с, а вектор атакже векторно умножается на векторное произведение b´c,то полученный при этом вектора´(b´c)=[a[bc]]называется двойным векторным произведением.
Теорема.(Док-во на с.79). Для любых векторовa, b иcсправедлива формула:
а´(b´c)=[a[bc]]=b(ac)-c(ab) (13)
Из формулы (13) Þ(а´b)´c=[[ab]c]=b(ac)-a(bc) (13¢)
(Т.е. средний вектор, умноженный на скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор внутреннего произведения, умноженный на скалярное произведение двух остальных.)
