Геометрический смысл смешанного произведения.

Теорема.Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, bи c,взятому со знаком плюс, если тройка abcправая, и со знаком минус, если тройкаabcлевая. Если же векторы a, bи cкомпланарны,тоabc=0. V=±abc

Доказательство.

Исключим тривиальный случай, когда векторы aиbколлинеарны. В этом случае векторы a, bиc– компланарны и их смешанное произведение равно нулю, т.к. векторное произведениеa×b двух коллинеарных векторов равно нулю.

Пусть векторы aиbне коллинеарны. Обозначим через S - площадь параллелограмма, построенного на векторах aиb,а черезе –орт векторного произведения a×b.

Учитывая формулы:a×b=Sеи , получим:

аbc=(Sе)с=S(ес)=S|е|×пр_ес=S×пр_ес (12)

Предположим, что векторы a, bиcне компланарны. Тогда пр_ес с точностью до знака равна высоте h параллелепипеда, построенного на векторах a, bиc, в основании которого лежит параллелограмм, построенный на векторах aиb.

(a×b)c=|a×b|·|c|cos φ=S·|c|cos φ=S·пр_dc

Согласно геометрическому свойству векторного произведения |a×b|=S_,где S –площадь основания, получаем:

S·|c|cos φ

Т.о. правая часть (12) с точностью до знака равна объему Vпостроенному на векторахa, bиcпараллелепипеда.

Очевидно, что пр_ес=+h, если векторы е и с лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами aиb, и пр_ес= -h, если векторы е и с лежат по разные стороны от указанной плоскости.

Но это означает, что пр_ес=+h, если тройки аbc и аbеодной ориентации, и пр_ес=-h, если эти тройки противоположной ориентации.

Т.к. по определению векторного произведения тройка аbе является правой, то

пр_ес=

Если векторы a, bи cкомпланарны,то векторслежит в плоскости, определяемой векторамиaиb, откуда следует, чтопр_ес=0и, следовательно из (12)Þ, чтоabc=0. ч.т.д.

Следствие 1.

Объем соответствующего тетраэдра(правильной пирамиды) равен:

V=±1/6 abc=1/6|abc|