Геометрическое построение векторного произведения.

1) Если ненулевые векторы aиb ортогональны, то для геометрического построения вектора a×b достаточно совместить их начала и в плоскости, перпендикулярной вектору b, повернуть вектор а на 90° вокруг вектора bпо ходу часовой стрелки, а затем умножить повернутый вектор на |b|.

2)Чтобыгеометрически построить векторное произведение векторов aиb надо, совместив их начала, спроектировать вектор анна плоскость p, перпендикулярную вектору b.Полученную проекцию в плоскости, перпендикулярной вектору b,повернуть вокруг вектораbна 90°по ходу часовой стрелки, а затем умножить повернутый вектор на |b|.

Алгебраические свойства векторного произведения.

1) a×b=-(b×a) –антикоммутативность;

2) λ(a×b)=λa×b=a×λbсочетательное (ассоциативное) относительно числового множителя;

3) a×(b+с)=a×b+a×с -распределительное (дистрибутивное)относительно суммы векторов;

4) a×а=0 (a×а=|а||а|sin 0=0);

Доказательства.

1) Пусть с=a×b, d=b×a.Если векторы aиbколлинеарны, то с=d=0.

Если aиbне коллинеарны, то векторы си dимеют одинаковую длину (|а||b|sinφ) и коллинеарны (т.к. оба ортогональны плоскости, определяемой векторами aиb).Но тогда либо с=d,либо с=-d.Если бы с=d, то обе тройки abc и bac были бы правыми, но они противоположной ориентации. Поэтому c=-d. ч.т.д.

2) Положим с=λ(a×b), d=λa×b.Исключим тривиальные случаи, когда вектор а коллинеарен вектору b или когда l=0. в этом случае с=d=0.

Обозначим j= , y= . По определению длины векторного произведения и произведения вектора на число можно утверждать, что

|с|=|l||a||b|sin y |d|=|l||a||b|sin j (10)

Возможны 2 случая 1) j=y (когда l>0 и векторы а и lа направлены в одну сторону).

2) y=p-j (когда l<0 и векторы а и lа направлены в одну сторону).

В обоих случаях sin y=sin j и в силу (10) |с|=|d|, т.е. векторы c и d имеют одинаковую длину.

Далее, очевидно, что векторы c и d коллинеарны, т.к. ортогональность к плоскости, определяемой векторами lаиb, означает ортогональность и к плоскости, определяемой векторами а и b.

Для доказательства равенства векторов c и d проверим, что эти векторы имеют одинаковое направление. Пусть l>0 (l<0), тогда векторы а и lаодинаково направлены (противоположно направлены), и, следовательно, векторы a×bи λa×bтакже одинаково (противоположно) направлены, а это означает, что векторы d=λ(a×b) и с=λa×b всегда одинаково направлены. ч.т.д.

3) – без доказательства.

4) – следует из того, что вектор а коллинеарен самому себе.

Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Теорема 7. Если два вектора определены своими декартовыми прямоугольными координатами а={x₁,y₁,z₁}, b={x₂,y₂,z₂},то их векторное произведение имеет вид:

a×b={y₁z₂-z₁y₂,z₁x₂-x₁z₂,x₁y₂-y₁x₂} (11)

a×b= (11¢)

Доказательство.

В частности, i×i=j×j=k×k=0.

i×i=j×j=k×k=0.

i×j=k i×k=-j j×i=-k j×k=i

k×i=j k×j=-i

a×b=(x₁i+y₁j+z₁k)×(x₂i+y₂j+z₂k)=x₁x₂i×i+x₁y₂i×j+x₁z₂i×k+y₁x₂j×i+y₁y₂j×j+y₁z₂j×k+z₁x₂k×i+z₁y₂k×j+z₁z₂j×j=0+x₁y₂k+x₁z₂(-j)+y₁x₂(-k)+0+y₁z₂i+z₁x₂j+z₁y₂ (-i)+0=

=(y₁z₂-z₁y₂)i- (x₁z₂- z₁x₂)j+(x₁y₂ - y₁x₂)k= =a×b

Если последний определитель равен 0, то либо один из векторов равен 0, либо векторы коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны.

Пример. Найти векторное произведение векторов а=(1;3;4), b=(2;1;0)

a×b=-4i-8j-5k.

Следствие. Если два вектора а={x₁,y₁,z₁}, b={x₂,y₂,z₂}коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е. .

Доказательство. Из равенства нулю векторного произведения следует:

y₁z₂=z₁y₂, x₁z₂=z₁x₂, x₁y₂=y₁x₂, а это эквивалентно доказываемым пропорциям.