Геометрические свойства векторного произведения.

Теорема 4.Два вектора являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Следует из определения векторного произведения, т.к. если векторы аи b коллинеарные, то угол между ними равен 0, а sin 0=0.

Достаточность. Пусть a×b=0. покажем, что векторы аи b коллинеарные. Исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов или равен 0. Если оба вектора ненулевые, то >0, >0Þиз равенства a×b=0 и (7) следует, что sin j=0, т.е. векторы и коллинеарны. Ч.т.д.

Теорема 5. Длина (модуль) векторного произведения a×bравна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах aи b.

Доказательство. Следует из (7), т.к. площадь параллелограмма равна S=|а||b|sin(a^b)=|a×b|. Ч.т.д.

Площадь соответствующего треугольника: S_Δ=1/2|a×b|.

Определение. Ортом произвольного ненулевого вектора с называется единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с ним направление.

Следствие. Если е – орт векторного произведения a×b, а S – площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах aи b, то для векторного произведения a×b справедлива формула: a×b=Sе (8).

Замечание. Из определений орта и векторного произведения вытекает, что тройка abe является правой (т.к. тройка aba×bявляется правой).

Теорема 6. Если с – некоторый вектор, p - любая содержащая его плоскость, е – единичный вектор, лежащий в плоскости p и ортогональный к с, g – единичный вектор, ортогональный к плоскости p и направленный так, что тройка есg является правой, то для любого лежащего в плоскости p вектора а справедлива формула

a×с=пр_еа×|с| g (9)

Доказательство. Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9): 1) имеют одинаковую длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление.

S=|a×с|- площадь построенного на приведенных к общему началу векторах а и с параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (9), равна |пр_еа|×|с|, т.е. тоже равна S, т.к. если за основание указанного параллелограмма принять вектор с, то высота его h будет равна |пр_еа|.

Коллинеарность векторов, стоящих в левой и правой частях (9), вытекает из того, что оба эти вектора ортогональны плоскости p (вектор a×с в силу определения векторного произведения, а вектор пр_еа×|с| g в силу того, что вектор g по условию ортогонален к плоскости p).

Проверим, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9) имеют одинаковое направление. Векторы a×с и gодинаково направлены (противоположно направлены), когда тройка aсg является правой (левой), т.е. когда векторы а и ележат по одну сторону (по разные стороны) от с и проекция пр_еаявляется положительной (отрицательной), но это и означает, что векторы a×сипр_еа×|с| gвсегда одинаково направлены. Ч.т.д.