Обозначим буквами a, b, g углы наклона вектора 
к осям Ox, Oy и Oz соответственно.
Числа cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . С учетом формулы 
и предыдущей теоремы, получаем формулы для координат вектора :
Х=| | cosα, Y=| | cosβ, Z=| | cosγ (3)
Т.к. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств ОА=Х, ОВ=Y, OC=Z, получим выражение для длины вектора :
(4)
Из (3) и (4) получаем:
; 
; 
(5)
Возводя в квадрат и складывая равенства (5), получаем:
cos2α+cos2β+cos2γ=1.
Т.к. вектор однозначно определяется заданием координат, то из (3) следует, что вектор однозначно определяется заданием его длины и направляющих косинусов.
Действия над векторами.
={ах,ау,аz}={x,y,z}
Пусть ={х1,у1,z1}, 
={х2,у2,z2},
1) = когда равны их соотв. координаты: х1=х2; y1=y2; z1=z2.
2) Сумма (разность) векторов - вектор. Пусть 
, 
тогда
={х1+х2,у1+у2,z1+z2}, ={х1-х2,у1-у2,z1-z2}.
3) Умножение вектора на число- вектор: 
={λх1,λу1,λz1}.
Примеры. а={2; -3;0}, b={1;3;-2}. a+2b={4;3;-4}.
.
