Простейшие дроби

Пусть p – неприводимый многочлен, Рациональная дробь называется простейшей, если в ней степень числителя меньше степени неприводимого многочлена p.

Теорема. Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших и притом единственным образом с точностью до порядка следования слагаемых.

Доказательство: Рассмотрим правильную рациональную дробь

где – неприводимые многочлены, – натуральные числа. По теореме из предыдущего параграфа эту дробь можно представить и притом единственным образом в виде

С помощью теоремы о делении с остатком каждый многочлен расположим по степеням

Заметим, что из этой же теоремы следует единственность такого представления. Итак,

Мы доказали, что дробь можно представить в виде суммы простейших и притом единственным образом. ■

Над полем комплексных чисел все простейшие дроби имеют вид Над полем вещественных чисел все простейшие дроби имеют вид

или

где т.е. многочлен неприводим над полем вещественных чисел.

Пример. Представить в виде суммы простейших над полем действительных чисел

Решение: Применим метод неопределенных коэффициентов. Из доказательства теоремы видно, что в общем виде равенство выглядит так:

Осталось определить А, В, С, D и Е.

Необходимо составить и решить систему пяти уравнений относительно неизвестных А, В, С, D, Е. Можно приравнять соответствующие коэффициенты при степенях Можно, воспользовавшись тем, что равенство должно выполняться при всех значениях х, придавая переменной х различные значения, получать уравнения. На практике наиболее удобно сочетание этих двух путей нахождения уравнений.

Приравниваем коэффициенты

Отсюда

Ответ: