Представить в виде суммы простейших:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Контрольная работа №3 по теме “Многочлены”
I вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень i, простые корни 2 и 3.
9) Найдите коэффициент a так, чтобы многочлен 
имел –1 корнем не ниже второй кратности.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
II вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=3.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройной корень i, простые корни 2 и 3.
9) Найдите А и В так, чтобы трехчлен 
делился на 
.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
III вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройные корни i, 1+i простой корень 2+i.
9) Найдите А и В так, чтобы трехчлен 
делился на .
10) Запишите в лексикографическом виде: .
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
IV вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: .
6) Для многочлена определите кратность корня с=1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойные корни i, 1+i, простой корень 0.
9) Докажите, что многочлен 
имеет число 1 тройным корнем.
10) Запишите в лексикографическом виде:
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
V вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройные корни 1, 1+i, простой корень 2-i.
9) Докажите, что многочлен 
имеет число 1 тройным корнем.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
VI вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=2.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень 1, двойной корень 3, простой корень 1-i.
9) Докажите, что многочлен 
имеет число 1 тройным корнем.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
VII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-2.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройной корень 2-i, двойной корень 1-i, простые корни 3 и 4+i.
9) Пусть 
– попарно различные действительные числа. Существует ли многочлен степени п, имеющий корни 
и принимающий значение 1 в точке 
.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
VIII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий корни 1, 2, 3, 1+i, 1-2i, 1-3i.
9) Число 
является корнем многочлена 
. Найдите остальные корни этого многочлена, если известно, что a и b – рациональные числа.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
IX вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена определите кратность корня с=3.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень 1-4i, простые корни 1+i и 5.
9) Число 
является корнем многочлена 
. Найдите остальные корни этого многочлена, если известно, что a и b – рациональные числа.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
X вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=1.
7) Разложите многочлен 
по степеням .
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень 1, простые корни 1+i, 1+2i, 3.
9) Найдите общие корни многочленов: 
и 
.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
XI вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройной корень 4-i, двойной корень 3-i, простые корни 1+i и 6.
9) Найдите общие корни многочленов: 
и 
.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
XII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень 3+i, простые корни 5-i и 2.
9) Многочлен 
имеет корни 
. Найдите третий корень этого многочлена.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
.
XIII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройные корни 1+i и2-i, двойной корень 3.
9) Вычислите сумму 
, если 
– корень многочлена 
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
.
XIV вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=2.
7) Разложите многочлен 
по степеням .
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень 2, двойной корень 1+i, простой корень i.
9) Докажите, что при любых целых неотрицательных m, n, p многочлен 
делится на .
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
XV вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и .
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-2.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень -2, двойной корень –1, простые корни 1+i и 3.
9) Докажите, что многочлен 
не имеет кратных корней, то есть не делится на 
, каково бы ни было число a.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
XVI вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройной корень 7-i, двойной корень 5-i, простые корни i и 2.
9) При каком условии 
делится на 
?
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: .
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: .
XVII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройной корень 7-i, двойной корень 7-i, простые корни i и 2.
9) При каком условии 
делится на 
.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
.
XVIII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий двойной корень 6-i, простые корни 2+i, 3+2i, 1 и -1.
9) Найдите значения a и b, при которых 
делится на 
. Чему будет равно частное?
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
XIX вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-2.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройные корни 2 и 5, двойной корень i.
9) Найдите условие, при котором многочлен 
имеет двойной корень, отличный от нуля.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
.
XX вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=2.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень 1+2i, двойной корень 5, простой корень 0.
9) Найдите условие, при котором многочлен 
имеет тройной корень, отличный от нуля.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
.
XXI вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройные корни 2+3i и 5, двойной корень 7-i, простой корень 0.
9) При каких значениях a, b, c многочлен 
разделится без остатка на 
?
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
.
XXII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена определите кратность корня с=-3.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень 0, двойной корень 2+i, простой корень i.
9) Докажите, что многочлен 
делится на 
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
.
XXIII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень -2, двойной корень 2, простые корни 7i и 3.
9) При каких A и B многочлен 
делится на ?
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
XXIV вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена определите кратность корня с=1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройные корни 2i и 3, двойной корень 5, простой корень 1+i.
9) Докажите, что многочлен 
делится без остатка на .
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
XXV вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-2.
7) Разложите многочлен 
по степеням .
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойные корни 3 и 1+i, простые корни 3+2i и 2.
9) Убедитесь в том, что 
является корнем многочлена 
, и найдите остальные корни.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: 
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
XXVI вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=2.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень 2, двойной корень 1+i, простой корень i.
9) Убедитесь, что 
является корнем многочлена 
. Найдите остальные корни многочлена.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
.
XXVII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень 2+2i, простые корни 1+2i и 3.
9) Сколько существует многочленов 
таких, что множество их корней есть {a, b,c}?
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
XXVIII вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойные корни 1+2i, 2+3i, простой корень1.
9) Число 
является корнем многочлена 
. Найдите остальные корни многочлена.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
XXIX вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-3.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень 2, простые корни 1, -1, 2-i.
9) Число является корнем многочлена 
. Найдите остальные корни.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел:
.
XXX вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен 
по степеням 
.
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень -1, простые корни 1+i, 2-i.
9) Убедитесь, что число является корнем многочлена 
. Найдите остальные корни.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
XXXI вариант
1) Разложите многочлен 
на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление:
и 
.
3) Отделите кратные множители:
.
4) Решите уравнение 3 степени: 
.
5) Решите уравнение 4 степени: 
.
6) Для многочлена 
определите кратность корня с=3.
7) Разложите многочлен 
по степеням .
8) Найдите многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень 1, простые корни 2, 3, 2+3i.
9) Убедитесь, что 
– корень многочлена 
. Найдите остальные корни.
10) Запишите в лексикографическом виде: 
.
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены:
.
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: 
.
