Поле отношений кольца многочленов 
обозначается 
и называется полем рациональных функций. Его элементы называются рациональной дробью или рациональной функцией. Будем писать 
вместо 
где 
Тогда
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Дробь называется несократимой, если НОД 
В дальнейшем рассматриваем несократимые дроби.
Теорема. Любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби и притом единственным образом.
Доказательство: Возьмем любую рациональную дробь . По теореме о делении с остатком 
Отсюда
Теорема существования доказана. Единственность такого представления следует из той же теоремы о делении с остатком, по которой такая пара h и r единственна. ■
Теорема. Если 
то правильную рациональную дробь 
можно представить в виде суммы двух правильных рациональных дробей 
и притом единственным образом.
Доказательство: По теореме о линейном представлении НОД из условия 
следует, что существуют многочлены 
и 
для которых
Отсюда
Разделим 
на h, тогда 
Пусть 
Докажем, что 
Если 
то 
А это противоречит условию, по которому 
Отсюда Итак,
Теорема существования доказана. Предположим, что существует еще одно такое представление дроби
Тогда 
Следовательно,
По теореме Евклида 
делится на h, а это возможно лишь, если 
а значит, и 
■
