Для ассоциативного коммутативного кольца А с 1 без делителей нуля рассмотрим пары элементов 
В этой паре элемент а называется числителем, а b – знаменателем. Введем для них отношения равенства, операции сложения и умножения:
(1)
(2)
(3)
Отношение равенства разбивает эти пары на классы равных пар. Докажем, что введенное действие сложения каждым двум классам таких пар ставит в соответствие третий класс. Действительно, пусть 
т.е. 
Тогда
Аналогично доказывается, что 
Теорема. Классы равных пар относительно введенных действий сложения и умножения образуют поле.
Доказательство заключается в скрупулезной проверке всех аксиом поля. Это поле называется полем отношений кольца А. Например, поле рациональных чисел Q является полем отношений кольца целых чисел Z. ■
Нейтральным элементом относительно умножения в поле отношений является класс, в который входит элемент 
Отождествив пару (а, 1) с элементом 
получим включение кольца А в его поле отношений. Обратным к классу пары 
является класс пары 
Заметим, что 
для любого ненулевого элемента с из кольца А. В частности, 
