Если для любых i и j имеем 
то функция 
называется симметрической. Сумма, разность, произведение симметрических функций - вновь симметрическая функция. Функции
... ... ... ... ...
называются элементарными симметрическими.
Теорема. Симметрический многочлен с коэффициентами из поля K является многочленом от элементарных симметрических функций с коэффициентами из этого же поля.
Доказательство: Пусть 
– высший член симметрического многочлена 
Тогда
Действительно, если, например, 
то слагаемое 
есть в многочлене f в силу его симметричности и оно выше слагаемого А. Противоречие. Образуем новый симметрический многочлен:
Это действительно многочлен, так как 
симметрический и высший член произведения равен
т.е. высшие члены многочленов f и 
равны. Следовательно, высший член многочлена 
ниже высшего члена многочлена f. Повторим рассуждения для 
и т.д.,
.
Получим 
■
Пример. Выразить через элементарные симметрические функции многочлен
Решение: Высший член многочлена имеет показатели степеней переменных (2, 1, 0). Условие невозрастания показателей степеней переменных в слагаемых, высота которых ниже, возможно лишь при показателях (1, 1, 1). Тогда показатели степеней 
как следует из доказательства теоремы, (2-1, 1-0, 0) и (1-1, 1-1, 1), т.е. 
Для нахождения А и В составим систему:
Ответ: 
