Кольцо 
обозначается через 
и называется кольцом многочленов от двух переменных 
и 
над полем K. Индуктивно строится кольцо 
от п переменных. Многочлен от п переменных складывается из мономов – слагаемых вида
Число 
называется степенью этого слагаемого. Наибольшая степень среди степеней слагаемых многочлена называется степенью этого многочлена. Слагаемое наивысшей степени называется старшим членом многочлена. Старших слагаемых в многочлене может быть много.
Если для двух мономов 
и 
выполнены условия 
то говорят, что А выше В. Если все слагаемые многочлена расположены так, что каждое предыдущее выше следующего, то это означает, что применена лексикографическая запись многочлена. Слагаемое, которое выше всех других слагаемых в своем многочлене, называется высшим членом многочлена. Высший член многочлена только один.
Теорема. Высший член произведения равен произведению высших членов сомножителей.
Доказательство: Пусть 
– высший член многочлена g,
– произвольный член многочлена g,
– высший член h,
– произвольный член h.
Предположим, что 
Сравним АС и BD. Для этих произведений
т.е. АС выше BD. Аналогично доказывается, что АС выше AD и AC выше BС. ■
