Теорема. Многочлен с рациональными коэффициентами можно представить в виде произведения примитивного многочлена с целыми коэффициентами и несократимой рациональной дроби и притом единственным образом.
Доказательство теоремы существования. Пусть b – наименьший общий знаменатель коэффициентов многочлена 
с рациональными коэффициентами, а – содержание многочлена 
с целыми коэффициентами. Тогда 
где 
– примитивный многочлен с целыми коэффициентами. Отсюда 
Доказательство теоремы единственности. Пусть 
и 
где 
и 
– примитивные многочлены. Тогда
Отсюда 
так как ad – содержание многочлена 
а bc – содержание многочлена 
и эти многочлены равны. Следовательно, 
и 
Оба представления совпали. Заметим, что в равенстве числа b и d положительны по построению. Докажем, что 
Из равенства 
и условия 
по теореме Евклида следует, что а делится на с, т.е. 
Подставив это значение а в равенство , получим 
или b делится на d. А из того, что и аd делится на b, 
следует, что d делится на b. Положительные числа d и b делятся друг на друга, значит они равны, 
отсюда 
■
