Многочлены с целыми коэффициентами

Наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена с целыми коэффициентами называется его содержанием. Многочлен называется примитивным, если его содержание равно 1.

Теорема (лемма Гаусса). Произведение примитивных многочленов вновь примитивный многочлен.

Доказательство: Пусть многочлены g и h примитивные, и простое число p делит все коэффициенты многочлена f. Предположим, что k – номер первого коэффициента многочлена g, который не делится на p, а s – номер последнего коэффициента многочлена h, который не делится на p. Тогда в равенстве

число, стоящее слева и все слагаемые суммы, стоящей справа, кроме одного делятся на p. Противоречие. Следовательно, такого простого числа p нет и наибольший общий делитель коэффициентов многочлена f равен 1. ■

Теорема (признак Эйзенштейна). Если существует такое простое число p, которое делит все коэффициенты многочлена с целыми коэффициентами кроме старшего но для которого свободный член не делится на то многочлен неприводим.

Доказательство: Предположим противное, что многочлен представлен в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами

где

Тогда

Произведение делится на p, но не делится на В силу простоты числа p, это означает, что один из сомножителей делится на p, скажем а другой нет. Аналогичные рассуждения при рассмотрении равенства

но с учетом того, что не делится на p, приводят к выводу, что делится на p. Продолжив рассуждения, получим: делится на p, а следовательно, делится на p. Противоречие с условием. Значит наше предположение неверно и теорема доказана. ■

Теорема. Если – рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами то делится на p, делится на q и для любого целого числа m делится на В частности, делится на а делится на

Доказательство: тогда

Из этого равенства следует, что делится на p. Но т.е. по теореме Евклида делится на p. Аналогично, так как делится на q, то делится на q.

Разделим на Получим

Домножим обе части равенства на Тогда

и нетрудно доказать, что

Подставим в обе части тождества вместо х число m. Получим

т.е. делится нацело на и q взаимно просты, поэтому делится на ■

Пример. Доказать, что уравнение не имеет рациональных корней.

Решение: Если – рациональный корень, то p может равняться 1 или -1, а q соответственно 1, 2, 4, 8 (знак корня относим к числителю). Рациональным корнем может быть только одно из чисел 1, Пусть Тогда Из числа подозреваемых исключаем 1, а также (так как f(1) не делится на С помощью числа f(2) = 53 аналогичным образом убедимся, что и остальные числа не удовлетворяют условию f(2) делится на т.е. не являются корнями уравнения.