Теорема. Если с – корень многочлена с вещественными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число 
также корень этого многочлена.
Доказательство: 
По условию 
Отсюда 
а из свойств комплексного сопряжения следует, что
т.е. 
■
Теорема. Многочлен с вещественными коэффициентами можно представить в виде произведения многочленов с вещественными коэффициентами первой и второй степени.
Доказательство: Пусть многочлен 
степени п имеет s вещественных 
и t пар комплексно сопряженных корней 
Тогда
Все множители первой и второй степени имеют вещественные коэффициенты и, следовательно, теорема доказана. ■
Следствие. Многочлен с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один вещественный корень.
Доказательство: Количество комплексных корней четно, а количество всех корней по условию нечетно, поэтому количество вещественных корней больше нуля.
Если для любого положительного корня с многочлена выполнено условие 
то число d называется верхней границей положительных корней. Если же для любого отрицательного корня с выполнено условие 
то h называется нижней границей отрицательных корней.
Теорема. Если -d – нижняя граница отрицательных корней многочлена 
то d – верхняя граница положительных корней многочлена 
Доказательство: Пусть с – положительный корень многочлена 
т.е. 
или 
– отрицательный корень многочлена . Поэтому 
а значит 
■
