Векторное и смешанное произведение векторов.

Определение 18. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки, в противном случае тройка векторов называется левой.

левая правая

Определение 19. Векторным произведением вектором и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. , т.к.

2.

3. образуют правую тройку векторов

В частности, из п.1, определения 19 следует, что если хотя бы один из векторов равен , то их векторное произведение равно , поскольку имеет нулевую длину.

Теорема 10. (Свойства векторного произведения векторов)

1. антикоммутативность.

2. если ∦ , то - площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

3.

4.

5. Пусть Тогда || .

Доказательство. 1.Пусть , , по определению 19,

а) .

б) ; || .

в) - правая тройка, - правая тройка , что видно из рисунка.

Из а-в), по определению 7 противоположного вектора, следует , что и требовалось доказать.

2. Определение 19

5. Необходимость (Þ) || .

Достаточность (Ü) или или Þ || или || или || .

Теорема 11. Пусть в правом ортонормированном базисе векторы заданы своими координатами , .

Тогда

То есть .

Из свойств векторного произведения следует, что

1) Векторное произведение одноименных ортов равно . Действительно, по теореме 10 (5), , так как || , || , || .

2) Векторное произведение разноименных ортов находится по правилу

.

Определение 20. Смешанным произведением векторов называется число и обозначается .

Теорема 12. (Свойства смешанного произведения векторов)

1. Смешанное произведение векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на : .

2. компланарны.

3. . То есть, формально, в записи смешанного произведения знаки операций можно менять местами. Исходя из этого в обозначении не ставят знаки операций.

4. . То есть, от перемены мест двух любых сомножителей в смешанном произведении знак смешанного произведения меняется на противоположный.

Теорема 13. Пусть в правом ортогональном базисе векторы заданы своими координатами: , , .

Тогда смешанное произведение

Доказательство следует непосредственно из теорем 9 и 11.