Скалярное произведение векторов.

Под углом между ненулевыми векторами и будем понимать угол между направленными отрезками и , имеющими общее начало и обозначается .

Векторы и называются ортогональными, если угол между ними прямой =π/2 и обознается .

Определение 15. Скалярным произведением векторов и называется число .

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то неопределен и считается .

Пусть - вектор, l – прямая, точка ОÎ l. Отложим и построим точку A₁ – ортогональную проекцию точки А на l.

Прl

Говорят, что ОА₁ - проекция вектора на ось l и обозначают ОА_{1 .}

Из прямоугольного треугольника ОАА₁ получаем то есть

Теорема 7. (Свойства скалярного произведения векторов)

1. :

2. :

3. , Î ℝ:

4. :

Доказательство.

1. = =

2. Учтем, что = = = .

Тогда, применяя свойства проекций получим = .

3. Доказывается аналогично с учетом свойства проекций:

4. пппп

Теорема 8 (критерий ортогональности векторов). Пусть Тогда

Доказательство.

а) Необходимость(Þ). Пусть

=0.

а) Достаточность(Ü). Пусть =0. Так как и , то и cos =0 (поскольку Î [0, π]) .

Определение 16. Базис { , , } пространства называется ортонормированным, если его различные векторы попарно ортогональны и их длины равны 1.

Векторы ортонормированного базиса называются ортами координатных осей и обозначаются , то есть

Определение 17. Аффинная система координат, базис которой ортонормирован, называется прямоугольной декартовой системой координат {О, }.

Для ортов справедливо

1) Скалярное произведение одноименных ортов равно 1. Действительно, Аналогично .

2) Скалярное произведение разноименных ортов равно 0. Например, по теореме 8, так как . Аналогично

Теорема 9. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов , выражается через их координаты по формуле .

Доказательство следует из свойств скалярного произведения в ортонормированном базисе – Гл.

Следствие 9.1. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат , . Тогда

1.

2. cos =

Доказательство.

1. По теореме 7,

2.

(теорема 9, сл. 9.1)