Координаты вектора и точки.

Теорема 3. Пусть на плоскости даны два неколлинеарных вектора и . Любой вектор на плоскости можно представить в виде , где Î ℝ, причем такое представление единственно.

Доказательство.I . Существование. Если или , то || , что противоречит с условием, следовательно, и .

Если || , то , для некоторого Î ℝ (см. опр.9) и искомое разложение вектора .

Если || аналогично существует Î ℝ: , т.е. .

Если ∦ и ∦ , отложим , , от одной точки O. Пусть .

Проведем прямые AP и AQ, такие что || AQ и || AP Тогда || , следовательно, = , || , следовательно, = для некоторых Î ℝ.

- искомое разложение.

II. Единственность. Пусть , где, например, , тогда, вычитая почленно, получим , где . Далее, ,

| :

, откуда следует по опр.9, что || , противоречие условию. Теорема доказана.

Аналогично доказывается

Теорема 4. Пусть даны три некомпланарных вектора , , . Любой вектор в пространстве может быть представлен в виде , где Î ℝ, причем такое представление единственно.

Определение 11. Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора на плоскости, взятых в определенном порядке.

Базисом в пространстве назовем три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Определение 12. Если , , - базис в пространстве и , то числа называются координатами вектора относительно данного базиса и обозначается ( ).

Аналогично определяются координаты вектора на плоскости. В дальнейшем все понятия, вводимые для пространства можно перенести на случай плоскости.

Пусть т.О фиксированная точка пространства, , , - базис в пространстве.

Определение 13. Аффинной системой координат в пространстве называется совокупность т.О – начала координат и базиса , , в пространстве и обозначается {O, , , }.

Пусть М – произвольная точка пространства. Радиус-вектором точки М по отношению к началу координат О называется вектор .

Определение 14. Координаты радиус-вектора точки М по отношению к началу координат называются координатами точки М в рассматриваемой системе координат.

Иначе говоря, точка М имеет координаты x, y, z в системе координат
{O, , , }, если и записывается M(x,y,z).

Лемма 1. Координаты вектора в системе координат {O, , , } равны разности координат его начальной и конечной точки.

Т.е. если , то .

Доказательство.

, т.е.

.

Теорема 5. Пусть в аффинной системе координат {O, , , } векторы заданы своими координатами , , тогда умножение вектора на скаляр и сложение векторов производится покоординатно, т.е.

1.

2.

Доказательство.

1. Так как , то (т.2) , т.е.

2. Так как , то + =(т.1, т.2)= , то есть

Теорема 6. Пусть в аффинной системе координат {O, , , } , , .

Векторы компланарны Û

Доказательство.

а) Необходимость (Þ). Пусть компланарны.

Если хотя бы один из векторов равен , то очевидно ∆=0.

Если какие-либо два вектора коллинеарны, например || , то , то есть По свойствам определителей, вынося l за знак определителя, получим

Пусть ∦ ∦ . Разложим по векторам и , как по базису на плоскости (см. теорему 3): существуют Î ℝ: . В координатной форме:

(*) ; (**)

Т.е., согласно (**), третья строка в ∆ может быть получена как линейная комбинация первых двух. По свойствам определителей ∆=0.

б) Достаточность (Þ). Пусть ∆=0. Решая систему (*) относительно неизвестных α, β и γ, получим, что ее основная матрица А вырождена, так как ее определитель имеет вид ∆=0 и, следовательно, rangA<3. Значит, (*) имеет бесконечное множество решений среди которых есть хотя бы одно ненулевое, то есть решение (α,β,γ)¹(0,0,0). Таким образом, существуют α,β,γ не равные нулю одновременно, удовлетворяющие (*), следовательно, . Пусть, например, 0. Тогда ; .

То есть разлагается по и , как по базису на плоскости, значит, принадлежит плоскости, проходящей через и . Теорема доказана.