Нехай 
– квадратна матриця порядку 
над полем 
, 
.
Означення. Мінімальним многочленом вектора 
відносно матриці 
називається нормований многочлен 
найменшого степеня, для якого 
.
Для побудови мінімального многочлена вектора відносно матриці розглянемо послідовність векторів 
. На кожному кроці 
будемо перевіряти, чи є система отриманих векторів лінійно незалежною. В силу скінченновимірності простору 
знайдеться таке ціле число , 
, що вектори 
будуть лінійно незалежні, а вектор 
буде лінійною комбінацією цих векторів з коефіцієнтами з поля . Інакше кажучи, знайдуться коефіцієнти, не всі рівні нулю, що виконається співвідношення 
. Цьому співвідношенню відповідає многочлен
,
який залежить від матриці 
та вектора 
.
