Нехай
– квадратна матриця порядку
над полем
,
.
Означення. Мінімальним многочленом вектора
відносно матриці
називається нормований многочлен
найменшого степеня, для якого
.
Для побудови мінімального многочлена вектора
відносно матриці
розглянемо послідовність векторів
. На кожному кроці
будемо перевіряти, чи є система отриманих векторів лінійно незалежною. В силу скінченновимірності простору
знайдеться таке ціле число
,
, що вектори
будуть лінійно незалежні, а вектор
буде лінійною комбінацією цих векторів з коефіцієнтами з поля
. Інакше кажучи, знайдуться коефіцієнти, не всі рівні нулю, що виконається співвідношення
. Цьому співвідношенню відповідає многочлен
,
який залежить від матриці
та вектора
.