Власний, інваріантний та циклічний підпростори лінійного оператора

Нехай лінійний оператор у векторному просторі над полем має в деякому базисі матрицю .

Означення. Власним вектором оператора називається такий ненульовий вектор , який цим оператором переводиться в пропорційний йому вектор , тобто , де – деяке число з поля , яке називається власним значенням оператора .

Теорема. Власними значеннями лінійного оператора , який діє у векторному просторі над полем є характеристичні корені цього оператора, які належать полю .

Для знаходження всіх власних значень оператора з матрицею треба знайти всі характеристичні числа матриці і з них вибрати тільки ті, які належать полю . Для знаходження всіх власних векторів оператора з матрицею для кожного власного значення треба знайти всі ненульові розв’язки системи .

Теорема. Множина власних векторів лінійного оператора , які відповідають власному значенню , разом з нульовим вектором утворює лінійний підпростір векторного простору .

Означення.Власним підпростором, що відповідає власному значенню оператора називається підпростір , утворений власними векторами, які відповідають власному значенню .

За означенням . Якщо оператор в заданому базисі має матрицю , то .

Власний підпростір є окремим випадком інваріантного підпростору лінійного оператора .

Означення.Інваріантним підпростором лінійного оператора називається такий підпростір , що образом кожного вектора з є вектор, який знову належить , тобто .

Означення. Циклічним підпростором лінійного оператора називається інваріантний підпростір з базисом виду . Вектор називається твірним вектором циклічного підпростору.

Мінімальний многочлен такого підпростору має степінь , оскільки вектори обов’язково будуть лінійно залежними.