Характеристичний та мінімальний многочлени матриці

Нехай – квадратна матриця порядку над полем .

Означення. Характеристичною матрицею матриці називається матриця

із змінною , яка набуває будь-які числові значення.

Означення. Характеристичним многочленом матриці називається визначник характеристичної матриці:

,

який являє собою многочлен від змінної степеня . Корені характеристичного многочлена називаються характеристичними коренями або характеристичними числамиматриці .

В довільний многочлен замість змінної можна підставити квадратну матрицю порядку .

Означення. Якщо для заданої квадратної матриці порядку , то називається матричним коренем многочлена , а многочлен називається многочленом, що анулюється матрицею .

Має місце теорема.

Теорема(Гамільтона-Келі). Кожна матриця є коренем свого характеристичного многочлена.

Означення. Мінімальним многочленом матриці над полем називається нормований многочлен найменшого степеня, що анулюється матрицею .

Теорема (про анулюючий многочлен). Будь-який многочлен, що анулюється матрицею , ділиться без остачі на мінімальний многочлен матриці . Зокрема, характеристичний многочлен матриці ділиться без остачі на мінімальний многочлен матриці .

Наслідок. Будь-який корінь мінімального многочлена матриці є її характеристичним коренем.

Коренями мінімального многочлена є всі різні корені характеристичного многочлена причому, якщо

,

то

,

де , .

Існують наступні способи побудови мінімального многочлена:

1. Для побудови мінімального многочлена матриці для кожного характеристичного кореня , , складають матрицю і підносять її до степенів доти, поки не буде виконана рівність , де – ранг матриці ; – порядок матриці ; – кратність характеристичного кореня матриці . Найменше натуральне число , при якому виконується рівність , дає кратність кореня в мінімальному многочлені матриці .

2. За теоремою про анулюючий многочлен мінімальним многочленом може бути один з многочленів – дільників характеристичного многочлена. Треба перевірити, які з цих многочленів є анулюючими і вибрати з них многочлен мінімального степеня.