Высказывания.

Будем называть высказыванием любое утверждение, относительно которого в данный момент можно сказать, что оно является истинным или ложным.

Примеры:

1. Аристотель был греком.

2. Теория графов изучает дискретные объекты.

3. Число 12 является простым.

4. Вода кипит при температуре 200 С.

Очевидно, что о первом и втором высказываниях можно сказать, что они истинны, а про третье и четвертое - что они ложны.

Не обо всех предложениях естественного языка можно сказать, истинны они или ложны. Например, истинность утверждения "Пробежать стометровку за 12 секунд легко и просто" зависит от того, кто говорит - разрядник по спринту или начинающий спортсмен.

Высказывания обозначают малыми латинскими буквами. Будем считать,

что высказывание равно 1, если оно истинно, и 0, если оно ложно.

Обозначив вышеприведенные высказывания буквами а, в, с, d, соответственно, получим:

а = 1, в = 1, с = 0, d = 0.

Высказывания могут соединяться логическими операциями или связками, в результате чего получаются сложные высказывания. Сложные высказывания также могут быть истинными или ложными.

Рассмотрим наиболее употребляемые логические операции - отрицание(обозначается как надчеркивание над буквой или ), конъюнкцию ( L ), дизъюнкцию ( V ), импликацию ( ® ), эквиваленцию ( ~ ) .

Смысл операции отрицания заключен в его названии. Если некоторое высказывание, а истинно, то есть а = 1, то отрицание высказывания, а будет ложно, то есть ā=0( а = 0).

Пусть а означает "Аристотель был греком", а = 1. Тогда, ā звучит, как "Аристотель не был греком", ā = 0.

Операцию отрицания удобно определить (как и другие операции над высказываниями) с помощью таблицы 3.1, которую называют таблицей истинности.

Таблица 3.1

Поскольку операция отрицания относится к одному высказыванию, то в ней содержится всего лишь два набора значений высказывания а - 0 и 1.

Остальные четыре операции связывают два высказывания - а и в. Значения операций зависят от истинности и ложности каждого из высказываний. Поэтому в таблице истинности (таблица 3.2) содержатся четыре набора значений высказываний а и в: 0 и 0, 0 и 1, 1 и 0, 1 и 1.

Таблица 3.2

Конъюнкция в языке соответствует соединительному союзу "И". Пусть а - высказывание "Теория множеств изучает дискретные объекты". Через в обозначим высказывание: "Теория графов изучает дискретные объекты". Тогда конъюнкция этих высказываний будет звучать, как "Теория множеств изучает дискретные объекты, и теория графов изучает дискретные объекты". Конъюнкция а и в обозначается а & в, а Λ в или сокращенно, а× в. Ее называют еще логическим умножением.

Дизъюнкция выражается в языке неразделительным значением союза "ИЛИ", то есть когда допускается одновременный выбор и того и другого. Например, пусть высказывание, а "В шахматах ладья ходит по горизонтали", а высказывание в - "В шахматах ладья ходит по вертикали". Тогда дизъюнкция этих высказываний звучит, как "В шахматах ладья ходит по горизонтали или по вертикали". Дизъюнкция а и в обозначается, а v в и называется логическим сложением.

Импликация соответствует в языке выражению "Если а, то в". Обозначим через а высказывание "Я выучу предмет", а через в - "Я пойду на экзамен". Импликация а и в прозвучит, как "Если я выучу предмет, то пойду на экзамен". Обозначается импликация, а в. По таблице истинности легко проверить равенство:

а→в = ā Λ в.

Эквиваленция в языке соответствует выражению "Если и только если". Запишем высказывание a как "В 12 часов ночи телевизор включен", а высказывание в - "По телевизору показывают футбол". Тогда эквиваленция а и в запишется как "В 12 часов ночи телевизор включен, если и только если по телевизору показывают футбол". Обозначается эквиваленция а ~ в. Из таблицы истинности следует равенство: а ~в = а в v ā ∙ в

Введя операции над высказываниями, Д.Буль получил исчисление высказываний, заложившее основу современной математической логики.