О неявном способе задания функции двух переменных и ее дифференцировании в этом случае

Дата добавления: 2015-01-16; просмотров: 575; Нарушение авторских прав

] def некоторую функцию , то есть . Например, def: .

Теорема. ] 1) , где - открытый шар с центром в точке и радиуса :

[ в определяет как однозначную функцию от и : так, что

а)

б)

в)

Идея получения формул (3) из

Пример. Пусть определяется уравнением

Найти: .

Решение.]

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (в )

Пусть поверхность (в ) задана неявно уравнением

Пусть . Проведем через точку линию и заданную параметрически (в ):

Р₀(x₀,y₀)

-

Так как , то (2) обращает (1) в тождество

Из (3) следует, что

Пусть

Тогда (4) перепишем

Вектор – вектор, касательный к линии в точке . Из (6) следует, что он . Через точку можно провести множество линий , и для касательных векторов которых (6). Отсюда следует, что касательные прямые к этим линиям лежат в одной плоскости, которую и называют касательной плоскостью (как объединение всех касательных прямых). Вектор - нормальный вектор касательной плоскости, а прямая, на которой лежит вектор - нормаль к поверхности в точке .

Пусть причем (то есть

Очевидно, что уравнение касательной плоскости имеет вид (в точке )

ибо ( – нормальный вектор касательной плоскости), а уравнение нормали:

ибо ( - направляющий вектор нормали).

Пусть

Это означает, что поверхность задана в явном виде:

Тогда из (6в) → и уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке принимают вид:

О геометрической интерпретации

y

z

x

N

M

M₀

M₁(x₀+∆x, y₀+∆ y) ) + -

x₀

y₀

y₀+∆ y

z₀

Р₀

T

α

x₀+∆x

Если , где - касательная плоскость, то точка имеет координаты

. Подставим координаты точки в уравнение (8):

Итак, - приращение аппликаты точки касательной плоскости. Из рисунка следует, что

и (у нас на чертеже).

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
О частных производных и дифференциалах высших порядков.	\|	О формуле Тейлора для функции двух переменных