1) Пусть
и 
и 
. (1)
Если 
и 
дифференцируемы в некоторой точке 
, то 
и 
, 
Что обозначают так:
Теорема. ]1) 
, 2) 
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и так далее 
-ого порядка
где - общее число дифференцирований 
,
- число дифференцирований по 
,
- число дифференцирований по 
.
Например,
и т.д.
Пример. Убедиться, что 
, если 
Решение: 
,
.
2) def:
- дифференциал второго порядка функции 
Вообще
– дифференциал -ого порядка , при условии, ] частные производные соответствующих порядков.
Имеем:
Используя (1) и (2), аналогично получим:
В общем случае
где 
