а) def
]
а
Функцию (1), (2) называют сложной функцией (независимой переменной t); x и y – промежуточнаые переменные, зависящие от одной и той же переменной t.
Подставим (2) в (1):
получили функцию одной переменной z= z(t).
Теорема.
] 1) 
2) 
и
def: (4) – «полная» производная функция (1),(2).
Доказательство. Дадим 
приращение 
. [ 
и 
.
По условию 2) 
. Это означает, что
Разделим (5) на и перейдем к пределу при 
(при этом 
и 
)
- теорема доказана.
Замечание.
] 
и 
. [ 
и 
, причем 
.
Пусть в (1)
Причем 
, где 
б) def
Функция
называется сложной функцией двух переменных: 
и 
- промежуточные переменные, а и 
– независимые переменные.
Теорема.
] 1) 
и 
2) 
[
Для доказательства (6) фиксируем 
в (1), (5). Повторяя рассуждения при доказательстве формулы (4), приходим к формуле (6). Формула (7) получится, если фиксировать в (1) и (5).
в) Пусть
и
г) Если
то
Формула (10) – «полная» производная для (9), (8).
Формула (8а) – «полная» производная для (7а), (8).
Замечание:
Выражение 
производная синоним обычной производной (производной функции одной переменой), причем для (10)
(по смыслу).
Инвариантность формы полного дифференциала сложной функции двух переменных
Пусть 
причем 
Подставим (2) в (1)→: 
причем 
и 
и
или
Из (3) и (4) следует, что форма полного дифференциала для (1) и (2) неизменна.
Замечание.
Из (4) получим (3), двигаясь в обратном порядке.
