ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ И БОЛЕЕ ПЕРЕМЕННЫХ

Частные производные , их геометрический и физический смыслы

def 1.

называется производной от по при фиксированном или частной производной от по .

def 2.

называется производной от по при фиксированном или частной производной от по .

Из введенных определений следует, что нахождение и сводится к обычному дифференцированию соответственно по (при ) и по (при ) и использованию таблицы производных функции одной переменной.

Пример.

. .

Из рисунка 1 →

где - угол наклона касательной к линии в точке .

б) ] - температура стержня, как функция данной точки стержня и от времени .

- скорость изменения температуры стержня в каждой точке стержня при фиксированном моменте времени

- скорость изменения температуры стержня в фиксированной точке стержня в каждый момент времени .

Понятие дифференцируемости функции . Полный дифференциал .

def. Функция называется дифференцируемой в точке , если

где и числа, не зависящие от и , а и →0 при и →0 ( .

В этом случае будем писать

Итак, (1) ~ (2).

Теорема 1 .

Если , то . Доказательство следует из (1):

Теорема 2.

Если , то в точке и , причем и , .

Доказательство.

Пусть и при и (то есть ).

Положим в (1) :

Аналогично, при из (1):

Из теоремы 2 следует, что если , [

def.

Выражение вида

называют полным дифференциалом в точке и пишут

Замечание.

Утверждения, обратные теоремам 1 и 2, не имеют место в общем случае.

Пример.

] (часть конической поверхности ).

Так как при и →0, то

Однако и и предела не . Что и означает , ибо не имеет место равенство (1); то есть из

Пример.

] .

Имеем: и .

далее:

то есть и функции в точке и равны 0.

В силу (1)

Но .

С другой стороны:

(

Полученное противоречие показывает, что , хотя и . Вместе с тем имеет место

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости или ).

] 1) и для всех точек .

2) и .

[ .

Краткое обоснование. ]

,

где .

В силу непрерывности и :

[

где , а

и →0 при .

Из (5) и следует, что (определение 1) теорема 3 доказана.

Важное замечание.

В отличие от функции одной переменной, (где ) для мы имеем лишь достаточное условие дифференцируемости .

С учетом (4), (5) перепишем:

В равенстве (6)

В силу (7) :

Из (8)

(ибо и

Соотношение (9) удобно использовать в приближенных вычислениях.

Пример.

Вычислить при

Решение:

]

[ в силу (9)

Итак, .

Напишем (9) в «развернутом» виде

Именно в этом виде мы и использовали формулу (9).