Помехоустойчивость оптимального обнаружителя.

Помехоустойчивость обнаружителя может быть количественно оценена с помощью характеристик обнаружения: вероятности ложной тревоги P_ЛТ и вероятности правильного обнаружения P_ПО.

Для вычисления P_ЛТ положим в (1) y(t) = n(t). Тогда вероятность выполнения (27), очевидно, и будет равна вероятности ложной тревоги P_ЛТ. Левая часть неравенства (27) является случайной величиной с нормальным распределением вероятностей, поскольку она представляет результат линейного преобразования нормального случайного процесса n(t). Можно показать, что

, (29)

где – относительный порог;

– функция Крампа.

Учитывая, что дисперсия шума на выходе согласованного фильтра [5]

,

имеем:

. (30)

Рассматривая зависимость вероятности ложной тревоги P_ЛТ от относительного порога α (рис.6) можно видеть, что для уменьшения P_ЛТ необходимо увеличивать величину порога по сравнению с эффективным (среднеквадратичным ) значением σ_{Ш ВЫХ} шума на выходе согласованного фильтра. Используя зависимость P_ЛТ = f (α) и задавая требуемое значение P_ЛТ в соответствии с критерием Неймана-Пирсона, можно определить необходимое значение α и, соответственно, величину требуемого порога Λ'_НП (см. рис.5).

Для вычисления вероятности правильного обнаружения P_ПО необходимо в (1) положить . При этом P_ПО вычисляется как вероятность выполнения неравенства:

(31)

Вероятность правильного обнаружения будет определяться выражением [2]:

(32)

где ;

Рис.6. Зависимость вероятности ложной тревоги от уровня порога.

Рис.7. Зависимость P_ПО от отношения сигнал/шум.

Зависимости P_ПО от значений от отношения сигнал/шум при различных P_ЛТ приведены на рис.7. Заметим, что помехоустойчивость оптимального обнаружения в рассматриваемых условиях белого шума не зависит от формы полезного сигнала U_c(t), а определяется лишь отношением энергии сигнала к спектральной плотности мощности помехи.