Интервальные оценки для вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения

Математической моделью экспериментальных исследований помехоустойчивости обнаружителя является схема независимых испытаний (схема Бернулли с двумя исходами в каждом испытании) как в случае регистрации ложной тревоги, так и правильного обнаружения [5]. На основе этой модели может быть решена задача построения интервальных оценок для соответствующих вероятностей: ложной тревоги и правильного обнаружения. При этом число испытаний (регистраций, отсчетов) должно быть достаточно большим.

Пусть опыт состоит в проведении конечного числа n независимых повторных испытаний (измерений, наблюдений и т.п.), в каждом из которых событие А (трактуемое как “успех”) осуществляется с вероятностью p (вероятность появления “успеха” не зависит от номера испытания; в каждом из испытаний она равна p), а противоположное событие (трактуемое как “неуспех”) осуществляется в каждом испытании с вероятностью . Описанную схему проведения опыта называют схемой Бернулли. Ясно, что – множество возможных значений дискретной случайной величины – числа успехов Х при проведении n испытаний.

Закон распределения случайной величины Х имеет вид:

P (X=k) = (k = 0, 1,…, n) – биномиальное распределение.

Известно также, что относительная частота = , является несмещенной, состоятельной, асимптотически эффективной и асимптотически нормальной точечной оценкой вероятности p.

Согласно теореме Муавра-Лапласа, центрированная и нормированная случайная величина является асимптотически нормальной при .

Зададимся величиной доверительной вероятности и запишем:

, (32)

где – нормированная функция Лапласа, откуда имеем

(33)

где – квантиль порядка стандартного нормального распределения. Таким образом, получаем:

. (34)

Заменив в последнем выражении неизвестную величину p ее оценкой –относительной частотой, получим приближенное выражение для асимптотического доверительного интервала, отвечающего доверительной вероятности :

(35)

Если число испытаний n достаточно велико, то указанное выражение используют для нахождения приближенной интервальной оценки вероятности p.

Выражение для реализации приближенного доверительного интервала, полученной в результате проведения конкретной серии испытаний (эксперимента), имеет вид:

(36)

где – относительная частота числа успехов, полученная в данном эксперименте.

Отметим, что оценка, основанная на асимптотическом доверительном интервале, обеспечивает достаточно хорошее приближение при достаточно больших n. Кроме того, необходимым является выполнение условий и .

Рассмотрим в качестве примера вычисление интервальных оценок для вероятности ложной тревоги от величины порога при следующих значениях параметров. Общее число наблюдений , число регистраций события “ложная тревога”, получаемое в эксперименте, обозначим через К, величину порога – через .

Выполним измерение величины К при значениях a из интервала (-2;2), взятых с шагом 0,2. Соответственно, подсчитаем значения . Примем доверительную вероятность, равной (при этом квантиль ) и рассчитаем значения интервальных оценок для каждого из указанных значений . Результаты приведены на рис.8. Для сравнения в той же системе координат построен график теоретической зависимости вероятности ложной тревоги от величины порога.

Рис. 8. Зависимости относительной частоты ложной тревоги (пунктирная линия) и теоретической кривой вероятности ложной тревоги P_ЛТ(a) (сплошная линия) от величины порога a.