Согласованная фильтрация сигнала

Передаточная функция фильтра, согласованного с сигналом U_c(t) длительностью T, имеет вид:

,

где – функция, комплексно сопряженная со спектром S_c(ω) сигнала U_c(t). Импульсный отклик (реакция на воздействие в виде δ-функции) такого фильтра K_c(t) определяется с помощью обратного преобразования Фурье функции Y_c(ω):

. (2)

Учитывая свойство спектров вещественных функций U_c(t)

,

получаем из (2):

. (3)

На рис.1 в качестве примера приведены формы сигнала U_c(t) и импульсного отклика K_c(t).

Выходное напряжение U_ВЫХ(t)согласованного фильтра при поступлении на его вход процесса y(t) определяется с по­мощью интеграла Дюамеля:

. (4)

Рис.1. Импульсный отклик K_c(t) согласованного фильтра.

Производя замену переменных в (4), получаем:

. (5)

В частности, в момент окончания полезного сигнала t = T из (5) имеем:

. (6)

В качестве примера рассмотрим форму выходного напряжения U_ВЫХ(t)фильтра, согласованного с сигналом вида:

, . (7)

Рис.2. Вид сигнала на входе (а) и выходе (б) фильтра, согласованного с сигналом, представляющим собой гармоническое колебание, и форма модуля комплексной огибающей F_ВЫХ(t) сигнала U_ВЫХ(t)(в).

Импульсный отклик такого фильтра с учетом (3) равен:

. (8)

При условии μ = 1и n(t) = 0, из (4) имеем:

(9)

Окончательно получим:

(10)

Вид сигнала U_c(t), форма выходного колебания U_ВЫХ(t) и форма вещественной огибающей F_ВЫХ(t)колебания U_ВЫХ(t) приведены на рис.2, а, б, в соответственно.

Спектр выходного сигнала на выходе фильтра имеет вид:

.

Поскольку

,

форма напряжения на выходе согласованного фильтра совпадает с автокорреляционной функции сигнала:

(11)

Так, например, в частном случае сигнала, представляющего собой отрезок гармонического колебания, (рис. 2,а), на выходе согласованного фильтра имеем смещенную на величину T автокорреляционную функцию R_c(t) (рис. 2, б) сигнала U_c(t). В момент времени T окончания сигнала значение выходного напряжения численно равно энергии принимаемого сигнала

Дисперсия (средняя мощность) шума на выходе согласованного фильтра, с учетом теоремы Парсеваля, может быть записана в виде:

(12)

Максимально возможное отношение мгновенного значения полезного сигнала к величине , называемое отношением сигнал/шум на выходе согласованного фильтра, достигается в момент t = T и определяется выражением:

(13) где – отношение энергии сигнала к спектральной плотности средней мощности шума.

Умножая числитель и знаменатель в (13) на величину занимаемой сигналом полосы частот ΔF_c, а также представляя в виде произведения средней мощности принимаемого полезного сигнала P_c на длительность T, имеем:

, (14)

где – отношение сигнал/шум на входе согласованного фильтра, определяемое выражением:

(15)

где – мощность шума на входе согласованного фильтра в полосе сигнала. Как следует из (14) даже при условии <<1 , требуемое значение γ_ВЫХ>1 может быть получено при выборе ΔF_сT >>1.

Величина ΔF_сT называется базой сигнала. Различают простые сигналы (ΔF_сT ≈ 1) и сложные сигналы(ΔF_сT >>1).

К простым сигналам относится, например радиоимпульс (отрезок гармонического колебания длительностью T) :

, . (16)

Модуль спектра такого сигнала, очевидно, будет определяться выражением:

, (17)

где . Занимаемая таким сигналом полоса частот, определяемая по критерию 90% концентрации энергии, равна ΔF_с ≈ 2/T.

Необходимость применения сложных сигналов связана с требованиями высокой разрешающей способности по дальности в радиолокационных системах, высокой степени разделения сигналов поверхностного и пространственного лучей в радионавигационных системах, раздельной демодуляции сигналов, приходящих по путям с различной задержкой в некоторых системах передачи дискретных сообщений (например, в коротковолновых системах, при использовании отражения от тропосферы) и т.д. При выборе таких сигналов обычно стремятся обеспечить постоянство огибающей на длительности сигнала, что выгодно с точки зрения использования по мощности выходных каскадов радиопередающих устройств. В то же время требуемые свойства сигнала обеспечиваются путем введения соответствующей модуляции фазы или частоты. Типичным примером таких сигналов являются сложные фазоманипулированные сигналы (ФМС). Аналитическая запись ФМС имеет вид:

(18)

,

где T₀ – длительность элемента сигнала, N – количество элементов на длительности T. Величина d^(k) принимает значения 1 или -1 в порядке, определяемом требуемой формой сигнала и задает фазовую манипуляцию на угол π.

Комплексная огибающая ФМС вида (18) определяется выражением:

. (19)

Формы комплексной огибающей F_c(t) для случаев N = 7 и N = 13 приведены на рис.3 (а, в) соответственно, причем законы чередования символов определяются последовательностями Баркера [1]. На рис.3 (б, г) приведены формы смещенной на величину T автокорреляционной функции R_F(t) от комплексной огибающей F_с(t) соответствующих ФМС. Также как и для простого сигнала в момент окончания ФМС R_F(0)= E_c, где , – энергия элемента сигнала длительностью Т₀.

Фазоманипулированные сигналы, построенные на основе кодов Баркера, позволяют получить превышение главного максимума модуля комплексной огибающей автокорреляционной функции над побочными максимумами в N раз. Ширина спектра ФМС определяется шириной спектра простого сигнала (отрезка гармонического колебания) длительностью Т₀. Занимаемая таким сигналом полоса частот, определенная по критерию 90% концентрации энергии, очевидно равна

ΔF ≈ 2/T₀ ≈ 2N/T, (20)

а значение базы ФМС равно приблизительно 2N.

Рис.3. Формы комплексных огибающих F_c(t) и R_F(t) для ФМС, построенных на основе кодов Баркера.