Эффект Гиббса

Рисунок 11-6 показывает сигнал временной области, синтезируемый из синусоид. Реконструируемый сигнал показан на последнем графике (h). Поскольку длина сигнала 1024 точки, необходимо 512 частот для его реконструкции. Рисунки от (а) до (g) показывают, как будет выглядеть сигнал при использовании только части из этих частот. Например, (f) показывает сигнал, для реконструкции которого использовались частоты от 0 до 100. Этот сигнал был получен следующим образом. С помощью ДПФ был преобразован сигнал (h), значения частот от 101 до 512 были установлены в ноль, затем с помощью инверсного ДПФ найден результирующий сигнал во временной области.

Чем больше частот используется при реконструкции, тем ближе сигнал приближается к исходной форме. Интересно рассмотреть, как осуществляется приближение к резким краям финального сигнала. Имеется три формы краев в (h). Два – это края прямоугольного импульса. Третий находится между отсчетами 1023 и 0, поскольку ДПФ рассматривает временную область как периодическую. Когда немного частот используются для реконструкции, каждый край смотрится как звенящий выброс (с затухающими колебаниями). Этот выброс и звон называются эффектом Гиббса, по имени математика и физика Джоза Гиббса, который объяснил этот феномен в 1899 году.

Рассмотрите поближе выбросы на рисунках (e), (f) и (g). Чем больше добавляется синусоид, тем ширина выброса делается меньше, однако амплитуда выброса остается той же самой, около 9%. Для дискретных сигналов здесь нет проблемы, выброс исчезает, когда добавляется последняя частота. Однако реконструкция непрерывного сигнала не может быть так легко объяснена. Бесконечное число синусоид должно быть добавлено для синтеза непрерывного сигнала. Проблема заключается в том, что амплитуда выброса не уменьшается по мере приближения числа синусоид к бесконечности, и остается все той же 9%. В этой ситуации возникает вопрос: может ли сумма непрерывных синусоид восстановить резкий край? Вспомните спор между Лагранжем и Фурье.

Решение этой загадки заключается в том, что ширина выброса становится меньше по мере увеличения числа синусоид. Выброс еще присутствует при бесконечном числе синусоид, но он имеет нулевую ширину. Точно в месте нарушения непрерывности (скачка) величина реконструируемого сигнала сходится в среднюю точку ступеньки. Как показал Гиббс, сумма синусоид сходится к сигналу в том смысле, что ошибка между ними имеет нулевую энергию.

Проблемы, связанные с эффектом Гиббса, часто встречаются в ЦОС. Например, низкочастотный фильтр есть резкое обрезание высоких частот, в результате чего во временной области возникает выброс и звон на спаде характеристики. Другая типичная процедура – отсечение конца сигнала временной области для предотвращения его проникания в соседние периоды. Благодаря свойству двойственности это нарушает края в частотной области. Эти случаи будут рассмотрены в главах по созданию фильтров.

РИСУНОК 11-6

Эффект Гиббса.