Другие пары преобразования

Рисунок 11-5 (а) и (b) показывают выше описанную двойственность: прямоугольный импульс в частотной области соответствует sinc функции (плюс наложение) во временной области. Включая эффект наложения, сигнал во временной области будет равен:

Что бы исключить из формулы учет влияния наложения, представьте, что в частотной области настолько частые отсчеты, что она превращается в непрерывную кривую. Это делает временную область бесконечно длинной, но периодической. Здесь используется ДВПФ, и получается сигнал:

Эта формула очень важна в ЦОС потому, что прямоугольный импульс в частотной области есть совершенный низкочастотный фильтр. Поэтому sinc функция, описываемая этой формулой, есть ядро совершенного низкочастотного фильтра. Эта есть основа для очень полезного класса цифровых фильтров, называемых sinc-подобными оконными фильтрами, описываемыми в главе 15.

Рисунки (с) и (d) показывают, что треугольный импульс во временной области совпадает с sinc функцией в квадрате (плюс наложение) в частотной области. Эта пара преобразования не так важна, как причина ее справедливости. 2M-1 точек треугольного импульса могут быть сформированы с помощью свертки самим с собой M точечного прямоугольного импульса. Поскольку свертка во временной области соответствует перемножению в частотной области, свертка сигнала с самим собой будет возводить в квадрат частотный спектр.

Имеется ли форма сигнала, которая сохраняется при преобразовании Фурье? Ответ да, и это только один вид сигнала – кривая Гаусса. Рисунок (е) показывает кривую Гаусса и соответствующий ей частотный спектр(f), который является также кривой Гаусса. Это справедливо, если пренебречь наложением. Соотношение между стандартным отклонением во временной области и частотной области дается выражением: 2πσf = 1/σt. Хотя только одна сторона кривой Гаусса показана в (f), полный частотный спектр охватывает негативные частоты с центром симметрии в нулевой частоте.

Рисунок (g) показывает то, что можно назвать Гауссовым всплеском (Gaussian burst). Она получается перемножением синусной волны на кривую Гаусса. Например, (g) есть синусная волна, умноженная на ту же самую Гауссову кривую, которая показана в (е). Соответствующая частотная область есть Гауссова кривая с центром не на нулевой частоте. Как и раньше, эта пара не столь важна, как причина ее справедливости. Поскольку сигнал во временной области есть результат перемножения двух сигналов, частотная область будет сверткой двух частотных спектров. Частотный спектр синусной волны есть дельта функция на частоте синусной волны. Частотный спектр Гауссовой кривой есть Гауссова кривая с центром на нулевой частоте. Свертка этих двух сигналов дает Гауссову кривую с центром на частоте синусной волны. Это должно быть знакомо, это идентично процедуре амплитудной модуляции, описанной в предыдущей главе.

РИСУНОК 11-5

Типичные пары преобразования.