Если сигнал периодический с частотой следования f, то частоты, составляющие этот сигнал, кратны f, то есть f, 2f, 3f, 4f и т.д. Эти частоты называются гармониками. Первая гармоника есть f, вторая гармоника - 2f, третья гармоника - 3f, и так далее. Первую гармонику, f, часто называют основной частотой (fundamental frequency).
РИСУНОК 11-7
Пример гармоник. Ассиметричное искажение, показанное в (с), вызывают четные и нечетные гармоники (d), Симметричные искажения, показанные в (е), приводят только к четным гармоникам (f).
На рисунке 11-7 показан пример гармоник. Рисунок (а) чистая синусоида, (b) – ее ДПФ, одиночный пик. В (с) синусоида искажена в верхней части. В (d) показан результат этого искажения в частотной области. Так как искаженный сигнал периодический с той же самой частотой, как и исходный, частотная область состоит из того же пика плюс гармоники. Гармоники могут быть любой амплитуды, однако они обычно становятся меньше с увеличением их частоты. Как и для любого сигнала, резкие края приводят к высоким частотам. Например, рассмотрим обычный генератор квадратных волн частотой 1 кГц на элементах ТТЛ логики. Резкий подъем за несколько наносекунд даст гармоники около 100 МГц, десять тысяч гармоник!
Рисунок (е) демонстрирует тонкий гармонический анализ. Если сигнал симметричен относительно горизонтальной оси, то есть верхние лепестки есть зеркальное отражение нижних лепестков, то все четные гармоники будут равны нулю. Как показано в (f), сигнал состоит из основной частоты, третьей гармоники, пятой гармоники и т.д.
РИСУНОК 11-8
Наложение гармоник. Рисунки (а) и (b) показывают искажение синусной волны и ее частотный спектр, соответственно. Гармоник выше, чем 0,5, будут накладываться между 0 и 0,5. Рисунок (с) показывает частотный спектр в логарифмическом масштабе, вскрывая множество пиков наложения с очень маленькой амплитудой.
Все непрерывные периодические сигналы могут быть представлены суммой гармоник, как было описано. Дискретные периодические сигналы имеют проблему, которая нарушает это простое отношение. Как вы, возможно, догадались проблема в наложении. Рисунок 11-8а показывает синусную волну, искаженную в верхней части так же, как был искажен предыдущий сигнал. Этот сигнал выглядит менее регулярным и сглаженным чем в предыдущем примере, поскольку синусная волна имеет много более высокую частоту, что дает всего несколько отсчетов на цикл. Рисунок (b) показывает частотный спектр этого сигнала. Как и ожидается, вы можете определить основную частоту и гармоники. Этот пример показывает, что гармоники могут простираться до частот много больше, чем 0,5 частоты дискретизации, и накладываться между 0 и 0,5. Вы не заметите их в (b) потому, что амплитуды их слишком малы. Рисунок (с) показывает частотный спектр в логарифмическом масштабе, демонстрируя наложение этих малых пиков. На первый взгляд этот спектр выглядит похожим на случайный шум. Но это не так, это результат перекрытия многих гармоник при их наложении.
Важно понимать, что этот пример предполагает искажение сигнала после того, как он был представлен в цифровом виде. Если это искажение происходит с аналоговым сигналом, вы можете удалить ненужные гармоники антиэлайзинговым фильтром перед оцифровкой. Гармоники наложения являются проблемой только тогда, когда нелинейные операции выполняются непосредственно над дискретным сигналом. Даже в этом случае амплитуда этих гармоник наложения достаточно мала, и их можно игнорировать.
Концепция гармоник так же полезна по другой причине: она объясняет, почему ДПФ рассматривает временную и частотную области как периодические. В частотной области N-точечное ДПФ состоит из N/2+1 равномерно расположенных частот. Вы можете рассматривать частоты между этими отсчетами как (1) имеющими нулевую величину или (2) не существующими. В любом случае они не вносят вклад в синтез сигнала временной области. Другими словами, дискретный частотный спектр состоит из гармоник, а не из непрерывного уровня частот. Это требует, что бы сигнал временной области был периодический с частотой равной самой низкой частоте из синусоид в частотной области, то есть основной частоте. Пренебрегая величиной постоянного тока (DC), самая низкая частота, представленная в частотной области, делает один полный цикл колебаний каждые N отсчетов, что делает период временной области равной N. Другими словами, если одна область дискретная, другая должна быть периодической, и наоборот. Это имеет силу для всех четырех членов семейства преобразования Фурье. Поскольку ДПФ рассматривает обе области как дискретные, то их необходимо рассматривать и как периодические. Отсчеты в каждой области представляют гармоники периода противоположной области.
