На рисунке 11-3 показана распространенная пара преобразования: прямоугольный импульс и sinc функция. Sinc функция определяется как sinc(a) = sin(pa)/(pa), однако она часто рассматривается в виде неясного выражения: «sinc функция в общей форме есть sin(x)/x». Другими словами, sinc функция есть синусная волна с амплитудой убывающей как 1/х. В (а) прямоугольный импульс симметричен относительно нулевого отсчета, одна половина импульса справа, другая половина слева. В ДПФ это проявляется как одиночный сигнал, так как временная область периодическая. ДПФ этого сигнала показано в (b) и (c), развернутая версия в (d) и (e).
Вначале посмотрим на развернутый спектр (d) и (e). Развернутая амплитуда представляет собой колебания, которые уменьшаются по амплитуде с увеличением частоты. Фаза состоит из всех нулей, как и следует ожидать для сигнала временной области симметричного относительно нулевого отсчета. Мы используем термин развернутая амплитуда, что бы показать, что она может иметь как положительные, так и отрицательные величины. По определения амплитуда должна быть всегда положительной. Как показано в (b) и (с), амплитуда делается положительной введением фазового сдвига на p для всех частот, где развернутая амплитуда отрицательная (d).
В (f) сигнал сдвинут так, что он смотрится как один непрерывный импульс, но не отцентрированный относительно нулевого отсчета. Это не изменяет амплитуду частотной области, но добавляет линейный компонент в фазу, делая ее беспорядочно прыгающей. На что похож спектр, представленный в виде реальной и мнимой части? Не стоит даже заботится об этом, так он запутан.
N точек сигнала временной области в виде прямоугольного импульса с шириной амплитуды равной M точек имеют спектр, полученный с помощью ДПФ:
ФОРМУЛА 11-1
Спектр, полученный с помощью ДПФ, для прямоугольного импульса. В этой формуле N есть общее количество точек в сигнале, которые равны нулю за исключением M соседних точек с амплитудой равной единице. Частотный спектр содержится в X[k], k меняется от 0 до N/2. Что бы избежать деления на ноль, X[0]=M. Синус в радианах, а не в градусах. Эта формула дается в предположении, что происходит наложение сигнала.
РИСУНОК 11-3
ДПФ прямоугольного импульса. Прямоугольному импульсу в одной области соответствует sinc функции в другой области.
ДВПФ может быть использовано для выражения частотного спектра в долях частоты дискретизации, f:
ФОРМУЛА 11-2
Формула 11-2 записана в терминах частоты дискретизации. Параметр f есть доля частоты дискретизации, меняющаяся от 0 до 0,5. Что бы избежать деление на ноль MagX(0)=M.
Другими словами, формула 11-1 дает частотный спектр из N/2+1 отсчетов, в то время как формула 11-2 дает непрерывную кривую, лежащую на этих отсчетах. Эти формулы дают только амплитуду. Фаза определяется исключительно лево-правой позицией сигнала временной области, как обсуждалось в последней главе.
Заметим, что на рисунке 11-3b колебания амплитуды не затухают до нуля при достижении частоты 0,5. Как вы подозреваете, сигнал продолжается в соседний период, где происходит его наложение. Это изменяет форму частотной области, что учитывается в формулах 11-1 и 11-2.
Важно понимать, что частотный спектр выглядит так, как будто нет наложения. Это происходит из-за того, что для представления или моделирования дискретного сигнала часто используется непрерывный сигнал, а у непрерывного сигнала нет наложения. Для удаления эффекта наложения в формулах 11-1 и 11-2 измените знаменатель с sin(πkM/N) на πkM/N и с sin(πf) на πf, соответственно. Рисунок 11-4 показывает влияние этого. Величина πf может изменяться только от 0 до 1,5708, поскольку f меняется только от 0 до 0,5. Для таких значений нет большой разницы между sin(πf) и πf. Нулевая частота имеет то же самое значение, а частоты 0,5 отличается на 36%. Без наложения кривая на рисунке 11-3b будет выглядеть с правой стороны слегка ниже по амплитуде, а с левой стороны почти без изменений.
РИСУНОК 11-4
Сравнение x и sin(x). Функции y(x)=x и y(x)=sin(x) близки для малых величин х, и отличаются только на 36% при 1,57 (π/2). Это описывает, как отличается спектр прямоугольного импульса от чистой sinc функции в результате искажений, вносимых наложением.
Когда в частотном спектре прямоугольного импульса нет наложения (потому, что сигнал временной области непрерывный, или вы пренебрегаете наложением), то он имеет основную форму – sin(x)/x, то есть sinc функцию. Для непрерывного сигнала, прямоугольный импульс и sinc функция – пары преобразования Фурье. Для дискретного сигнала это только аппроксимация с ошибкой, обусловленной наложением.
Sinc функция имеет досаждающую проблему при х=0, где sin(x)/x становится ноль, деленный на ноль. Это не трудная математическая проблема, при х очень маленьком sin(x) приближается к х (см. рисунок 11-4). Это превращает sinc функцию в х/х, величину равную единице. Другими словами, по мере того, как х становится меньше и меньше, величина sinc(x) приближается к единице вплоть до sinc(0)=1. Теперь попытайтесь объяснить это вашему компьютеру! Все это представляется делением на ноль, вызывая останов вашей программы. Помните, что ваша программа должна иметь специальное управление для х=0, когда вычисляется sinc функция.
Ключевой характеристикой sinc функции является расположение пересечений с нулем (zero crossing). Они оказываются в тех местах, где частоты точно соответствуют целому числу колебаний внутри прямоугольного импульса. Например, если прямоугольный импульс имеет ширину в 20 точек, то первое пересечение с нулем будет соответствовать частоте, которая совершает один полный цикл колебаний за 20 точек. Второе нулевое значение будет соответствовать частоте, делающей два полных колебания за 20 точек, и т.д. Это можно понять, если вспомнить, как вычисляется ДПФ с помощью корреляции. Амплитуды частотных компонент находится перемножением сигнала временной области на синусоиду и суммируется в результирующий отсчет. Если сигнал временной области есть прямоугольный импульс единичной амплитуды, то это равносильно сложению отсчетов синусоид, которые находятся внутри прямоугольного импульса. Если это суммирование провести по всему числу циклов колебаний синусоид, то результат будет равен нулю.
Sinc функция широко используется в ЦОС потому, что она есть пара очень простому сигналу, прямоугольному импульсу. Например, sinc функция используется в спектральном анализе, как обсуждалось в главе 9. Предположим, что анализируется дискретный сигнал бесконечной длины. Поскольку ДПФ может работать только с конечными сигналами, надо выбрать N отсчетов для представления этого длинного сигнала. Выбрать N отсчетов из сигнала то же самое, что и умножить его на прямоугольный импульс. Единица в прямоугольном импульсе сохраняет соответствующий отсчет, а ноль удаляет отсчет. Как это воздействует на частотный спектр сигнала? Перемножение временной области на прямоугольный импульс приводит к свертке частотной области с sinc функцией. Это уменьшает разрешение частотного спектра, как было показано на рисунке 9-5а.
