Пары дельта функции

Для дискретных сигналов, дельта функция есть простой сигнал, и он имеет вполне простую пару преобразования Фурье. Рисунок 11-1а показывает дельта функцию во временной области, ее частотный спектр показан в (b) и (c). Амплитуда есть постоянная величина, а фаза равна нулю. Как обсуждалось в предыдущей главе, это может быть понято, исходя из свойства расширения/сжатия. Когда временная область сжимается и превращается в импульс, частотная область расширяется и становится постоянной величиной.

В (d) и (g) сигнал во временной области сдвинут на 4 и 8 отсчетов вправо, соответственно. Как следует из свойств, описанных в предыдущей главе, сдвиг сигнала во временной области не меняет амплитуду, но добавляет линейный сдвиг по фазе. Фазовый сигнал на этом рисунке не развернут, поэтому он находится между –π и π . Также заметим, что горизонтальная ось частотной области представлена от -0,5 до 0,5. Т.е. она показывает область негативных частот в спектре наряду с областью позитивных частот. Негативные частоты представляют излишнюю информацию, но они часто включаются в графики ЦОС, и вы должны к этому привыкнуть.

Рисунок 11-2 представляет ту же самую информацию, что и рисунок 11-1, но частотная область показана в прямоугольной системе координат. Здесь можно извлечь 2 урока. Первый, сравнение полярной и прямоугольной системы координат частотной области. Как обычно, полярная система координат много легче для понимания; амплитуда ничего более, как постоянная, а фаза прямая линия. Сравните ее с реальной и мнимой частями, которые являются синусоидальными колебаниями; достаточно трудно уяснить их значение.

РИСУНОК 11-1

Пара дельты функции в полярной системе координат. Импульс во временной области соответствует постоянной амплитуде и линейной фазе в частотной области.

Вторая интересная характеристика в рисунке 11-2 заключается в двойственности ДПФ. С обычной точки зрения, каждый отсчет в частотной области соответствует синусоиде во временной области. Справедливо и обратное утверждение, каждому отсчету во временной области соответствует синусоида в частотной области. Включение негативных частот в этот график позволяет свойству двойственности быть более симметричным. Например, рисунки (d), (e) и (f) показывают, что импульсный отсчет номер четыре во временной области имеет соответствие в четырех циклах косинусной волны в реальной части и четырем циклам отрицательной синусной волны в мнимой части. Как вы помните, импульс отсчета номер 4 в реальной части частотного спектра соответствует четырем циклам косинусной волны во временной области. Точно также, импульс отсчета номер 4 в мнимой части частотного спектра соответствует четырем циклам отрицательной синусной волны, которая добавится к сигналу временной области.

РИСУНОК 11-2

Пара дельты функции в прямоугольной системе координат. Каждый отсчет во временной области соответствует косинусной волне в реальной части и отрицательной синусной волне в мнимой части частотной области.

Как упоминалось в главе 8, можно использовать другой способ для вычисления ДПФ (кроме вычисления корреляции с синусоидами во временной области). Каждый отсчет во временной области добавляет косинусную волну в реальную часть частотной области и негативную синусную волну в мнимую часть. Амплитуда каждой синусоиды определяется величиной отсчета во временной области. Частота каждой синусоиды определяется номером отсчета временной области. Алгоритм содержит: (1) прохождение через каждый отсчет временной области, (2) вычислению синусной и косинусной волны, соответствующих каждому отсчету, (3) сложением всех синусоид. Эта программа близка методу корреляции (таблица 8-2), за исключением изменений в выходном и внутреннем циклах.