Специальные свойства линейности

Линейность коммутативна, это свойство позволяет комбинировать две системы или более. Рисунок 5-10 показывает основную идею. Представьте две системы, соединенные последовательно, т.е. выход одной системы подключен к входу другой системы. Если каждая система линейная, то их комбинация будет также линейной системой. Свойство коммутативности утверждает, что при последовательном включении систем порядок их включения не влияет на характеристики всей комбинации. Вы, возможно, использовали этот принцип в электронных цепях. Например, представьте цепь, состоящую из двух каскадов, усилителя и фильтра. Что лучше, вначале усилить сигнал, а затем его отфильтровать, или вначале отфильтровать, а затем усилить? Если оба каскада линейные, то порядок операций не имеет значения и в обоих случаях результат будет тот же самый. Имейте в виду, что реальная электроника имеет нелинейные эффекты, что может делать существенным порядок операций, например, помехи, смещение по постоянному току, внутренние шумы, резкие искажения скорости и т.д.

РИСУНОК 5-7

Свойство коммутативности. Когда две или более системы соединены последовательно, порядок соединения не влияет на характеристики итоговой системы.

Рисунок 5-8 представляет следующий шаг в теории систем: комбинацию входов и (или) выходов. Система с комбинацией входов и выходов будет линейной, если она будет состоять из линейных подсистем, и сигналы будут суммироваться. Сложность системы не имеет значения, главное, чтобы только не было нелинейных частей внутри системы.

Для понимания того, что означает линейность для системы с комбинацией входов и (или) выходов, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Подадим сигнал на один вход, а на другой вход подадим ноль. Это приведет к появлению какого-то сигнала на общем выходе. Далее, повторим процедуру, но подадим другой сигнал на другой вход. На первый вход подадим ноль. На общем выходе появится другой сигнал. В конце эксперимента подадим одновременно оба сигнала на соответствующие входы. Выходной сигнал будет просто наложением (superposition) [суммой] выходных сигналов, которые появлялись при раздельной подаче входных сигналов.

РИСУНОК 5-8

Любая система с комбинацией входов и (или) выходов будет линейной, если она состоит из линейных систем, и сигналы суммируются.

Использование умножения в линейных системах часто неправильно понимается. Это вызвано тем, что умножение может быть линейным или нелинейным, в зависимости от того, на что умножается сигнал. Рисунок 5-9 иллюстрирует эти два случая. Система, в которой сигнал умножается на константу, будет линейной. Такие системы являются усилителями или аттенюаторами, соответственно, константа больше или меньше единицы. Если сигнал умножается на другой сигнал, то система будет нелинейной. Представьте синусоиду, умноженную на синусоиду с другой частотой, ясно, что результирующий сигнал не будет синусоидой.

Другая, обычно неправильно понимаемая, ситуация связана со сложением паразитных сигналов в электронике, таких как смещение по постоянному току и тепловой шум. Добавление этих посторонних сигналов является линейной или нелинейной операцией? Ответ зависит от того, откуда поступают эти паразитные сигналы. Если они рассматриваются как возникающие внутри системы, то процесс нелинейный. Это вызвано тем, что синусоида на входе в этом случае не даст чистую синусоиду на выходе. И наоборот, эти паразитные сигналы можно рассматривать, как поступающие снаружи на отдельный вход системы, у которой несколько входов. Это делает процесс линейным, так как требуется только сложение сигналов внутри системы.

РИСУНОК 5-9

Линейность при умножении. Умножение сигнала на константу – линейная операция. Умножение двух сигналов – нелинейная операция.