Дельта функция и импульсный отклик

В предыдущей главе было описано, как сигнал может быть разложен на группу компонентов, называемых импульсами. Импульс есть сигнал, состоящий из всех нулей, за исключением одной ненулевой точки. Действительно, импульсное разложение дает возможность анализа сигналов по одному отсчету. В предыдущей главе также была представлена фундаментальная концепция ЦОС: разложение входного сигнала на сумму составляющих, пропускания каждой составляющей через линейную систему, и суммирования полученных выходных сигналов. Сигнал, полученный из этой процедуры «разделяй и властвуй», идентичен сигналу, полученному прямым пропусканием исходного сигнала через систему. Хотя возможны многие виды разложения, только два являются базовыми в цифровой обработке: импульсное разложение и разложение Фурье. Когда используется импульсное разложение, процедура может быть описана математической операцией, называемой свертка. В этой главе (и большинстве следующих глав) мы будем иметь дело только с дискретными сигналами. Свертка также применяется и для непрерывных сигналов, но математика там более сложна. Мы рассмотрим обработку непрерывного сигнала в главе 13.

Рисунок 6-1 определяет два важных термина, используемых в ЦОС. Первый - дельта функция, d[n]. Дельта функция есть нормализованный импульс, т.е. отсчет с номером 0 имеет единичную величину, а остальные отсчеты равны нулю. По этой причине дельта функция часто называется единичным импульсом.

Второй термин, определяемый рисунком 6-1, есть импульсный отклик. Как следует из его названия, импульсный отклик есть сигнал, который появляется на выходе системы, когда на ее вход поступает дельта функция (единичный импульс). Если две системы отличаются друг от друга каким-либо образом, то они будут иметь разные импульсные отклики. Так как входные и выходные сигналы обычно обозначаются как x[n] и y[n], то импульсный отклик обычно обозначается символом h[n]. Конечно, это обозначение может быть изменено, если возможно более описательное имя, например, f[n] может использоваться для описания импульсного отклика фильтра.

Любой импульсный отклик может быть представлен как сдвиг и масштабирование дельта функции. Предположим, что сигнал a[n] состоит из всех нулей за исключением отсчета номер 8, который равен –3. Это то же самое, что и дельта функция, сдвинутая на 8 отсчетов вправо и умноженная на –3. В формульном виде: a[n] = -3d[n-8]. Убедитесь, что вы понимаете эту запись, она используется во всех ближайших формулах ЦОС.

Если на вход системы подан импульс такой, как -3d[n-8], что будет на выходе системы? Здесь используются свойства однородности и инвариантности сдвига. Масштабирование и сдвиг входного сигнала приводят к идентичному масштабированию и сдвигу выходного сигнала. Если d[n] дает h[n], то -3d[n-8] даст –3h[n-8]. Другими словами, выход есть версия импульсного отклика, который сдвинут и промасштабирован на ту же самую величину, что и дельта функция на входе. Если вы знаете импульсный отклик системы, то вы знаете и ее реакцию на любой импульс.