Система называется линейной, если она имеет два математических свойства: однородность (homogeneity) и аддитивность. Если вы можете показать, что система имеет оба эти свойства, то вы докали, что система линейная. Аналогичным образом, если вы можете показать, что система не имеет одного или обоих этих свойств, то вы доказали, что система нелинейная. Третье свойство, инвариантность сдвига, не является прямым требованием линейности, но оно является обязательным требованием для большинства методов ЦОС. Если вы в литературе по ЦОС встречаете термин «линейная система», то считайте, что он включает в себя инвариантность сдвига, если у вас нет причин считать по-другому. Эти три свойства формируют с математической точки зрения определение и использование теории линейных систем. В этой главе мы будем рассматривать интуитивный способ понятия линейности. А сейчас давайте пройдем через эти формальные математические свойства.
Как показано на рисунке 5-2, однородность означает, что изменение амплитуды входного сигнала отражается в соответствующем изменении амплитуды выходного сигнала. В математических терминах, если входной сигнал x[n] дает выходной сигнал y[n], то kx[n] дает ky[n] для любых входных сигналов и постоянной k.
РИСУНОК 5-2
Определение однородности. Система называется однородной, если изменения амплитуды входного сигнала приводят к идентичным изменениям амплитуды выходного сигнала Т.е. если x[n] приводит к y[n], то kx[n] приводит к ky[n] для любого сигнала x[n] и любой постоянной k.
Простой резистор является хорошим примером, как однородной системы, так и неоднородной системы. Если входом системы является напряжение на резисторе, а выходом – ток через резистор, то система однородная. Закон Ома гарантирует это; если напряжение увеличивается или уменьшается, то соответствующим образом увеличивается или уменьшается ток. Теперь рассмотрим другую систему, где входом будет напряжение на резисторе, а выходом – рассеиваемая на резисторе мощность. Поскольку мощность пропорциональна квадрату напряжения, то при увеличении входного сигнала в два раза, выходной сигнал увеличивается в четыре раза. Эта система неоднородная и поэтому не может быть линейной.
Свойство аддитивности иллюстрируется рисунком 5-3. Рассмотрим систему, где входной сигнал x1[n] производит выходной сигнал y1[n]. Далее предположим, что другой входной сигнал x2[n] производит другой выходной сигнал y2[n]. Система называется аддититвной, если x1[n] + x2[n] = y1[n] + y2[n], для любых возможных входных сигналов. Другими словами, сигналы, сложенные на входе, дают сигналы, которые складываются на выходе.
РИСУНОК 5-3
Определение аддитивности. Система называется аддитивной, если сумма сигналов проходит через нее без взаимодействия. Формально, если x1[n] дает y1[n], а x2[n] дает y2[n], то x1[n] + x2[n] дает y1[n] + y2[n].
Важным моментом является то, что сложенные сигналы проходят через систему без взаимодействия. В качестве примера рассмотрим телефонный разговор с вашей тетушкой Аней и дядей Борей. Тетушка начинает длинный разговор о том, как ее редиска хорошо растет в этом году. На заднем плане дядя Боря кричит на собаку, которая испортила его любимое кресло. Два голоса складываются и передаются по телефонной сети. Поскольку система аддитивная, то звук, который вы слышите, является суммой двух голосов, как если бы они звучали индивидуально. Вы слышите тетю Аню и дядю Борю, а не некоторое создание Аняборя.
Хорошим примером неаддитивной цепи является смесительный каскад в радиопередатчике. Имеются два сигнала: аудио сигнал (речь или музыка) и несущая волна. Они складываются и поступают на нелинейную цепь, как диодный p-n переход. В результате сигналы сливаются, и получается третий сигнал, модулированная радиоволна, несущая информацию на громадные расстояния.
Как показано на рисунке 5-4, инвариантность сдвига означает, что сдвиг входного сигнала приводит только к идентичному сдвигу выходного сигнала. В более формальных терминах, если входной сигнал x[n] производит выходной сигнал y[n], то входной сигнал x[n+s] производит выходной сигнал y[n+s] для любых входных сигналов и любой постоянной s. Заметьте, как математически записывается сдвиг, это будет использоваться в последующих главах. В результате добавления константы s к независимой переменной n сигнал может сдвигаться вперед или отставать по горизонтальному направлению. Например, когда s = 2, сигнал сдвигается влево на два отсчета, когда s = -2 – вправо на два отсчета.
РИСУНОК 5-4
Определение инвариантности сдвига. Система называется инвариантной к сдвигу, если сдвиг входного сигнала вызывает идентичный сдвиг выходного сигнала. В математических терминах, если x[n] дает y[n], то x[n+s] дает y[n+s] для любого сигнала x[n] и любой постоянной s.
Инвариантность сдвига важна потому, что она означает, что характеристики системы не меняются со временем. Если щелчок на входе вызывает хлопок на выходе, вы можете быть уверены, что другой щелчок вызовет идентичный хлопок. Большинство систем, с которыми вы будете встречаться, инвариантны относительно сдвига. Это большая удача, так как трудно иметь дело с системами, которые изменяют свои характеристики во время работы. Например, представьте, что вы создали цифровой фильтр для компенсации искажений в телефонной линии. Ваш фильтр делает голос более натуральным и отчетливым. Как же вы удивитесь, кода с приходом зимы обнаружите, что характеристики телефонной линии изменились с температурой. Ваш компенсирующий фильтр теперь не соответствует характеристикам линии и не работает должным образом. Такая ситуация может потребовать более изощренного алгоритма, который способен адаптироваться к изменению условий.
Почему однородность и аддитивность играют критическую роль в линейности, а инвариантность сдвига нет? Это вызвано тем, что линейность очень широкое понятие, включающее в себя много больше, чем только сигналы и системы. Например, представьте, что фермер продает апельсины по 2$ за ящик и яблоки по 5$ за ящик. Если фермер продает только апельсины, он получит 20$ за 10 ящиков и 40$ за 20 ящиков, что делает обмен однородным. Если он продает 20 ящиков апельсинов и 10 ящиков яблок, то он получит 20 × 2$ + 10 × 5$ = 90$. Это то же самое, как если бы продавали двое, заключив сделку о суммировании (additive). И с точки зрения однородности и с точки зрения аддитивности эта продажа товаров является линейным процессом. Однако, поскольку здесь нет сигналов, то это не система, и инвариантность сдвига здесь не имеет смысла. Инвариантность сдвига можно мыслить как добавочный аспект линейности, необходимый, когда дело связано и с системами и с сигналами.
