Упражнение 1.1.9

Установить биективное отображение между множеством точек плоскости и множеством точек сферы, из которой выброшена одна точка.

Очевидно, это можно сделать геометрически (рис. 1.1.10):

Рис. 1.1.10

Обозначим множество точек плоскости Р, множество точек сферы – М, точка А выброшена из сферы, xÎM, yÎP.

Чтобы установить биективное отображение между M и P, достаточно соединить точку В лучом с точкой «х» и получить соответствующую точку «y», или точку В соединить с точкой «y» и получить соответствующую точку «х», т.е. «х»««y».

Два множества называются количественно эквивалентными (или просто эквивалентными), если между ними можно установить биективное отображение.

Исходя из этого определения, можно дать другую формулировку счетного множества: счетным называется множество, эквивалентное натуральному ряду чисел.

Очевидно, что справедливы следующие утверждения:

1. Конечные множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов.

2. Два множества, порознь эквивалентные третьему, эквивалентны между собой.

3. Все счетные множества эквивалентны между собой.

4. Всякое множество, эквивалентное счетному множеству, счетно.

О двух эквивалентных множествах говорят, что они имеют одинаковую мощность.

Мощность – это то общее, что есть у эквивалентных множеств. Что общего имеют эквивалентные множества? Общим для них является число элементов. Мощность конечного множества есть число его элементов. Для бесконечных множеств является аналогом количества его элементов.

Все счетные множества имеют мощность, равную мощности натурального ряда чисел. Мощность натурального ряда чисел обозначается – алеф-нуль.

Мощность континуума обозначается готической буквой C. Между этими мощностями существует следующая связь: .

Как сравниваются мощности?

Рассмотрим два множества А и В. Если между ними можно установить биективное отображение, то мощности данных множеств равны. Если между множеством А и частью множества В можно установить биективное отображение, а между множеством В и частью А нельзя, то мощность множества А меньше мощности множества В.

Для конечных множеств это положительно очевидно. Для бесконечных множеств оно также справедливо.

Мощность натурального ряда чисел – меньшая среди мощностей всех бесконечных множеств. Следующая по величине – мощность континуума. Пытаясь найти множество, мощность которого была бы промежуточной между мощностями континуума и натурального ряда чисел, Георг Кантор, основатель теории множеств, сформулировал так называемую гипотезу континуума – предложение, отрицающее множество промежуточной мощности. Попытки доказать это предложение привели к серьезным теоретическим исследованиям, связанным с пересмотром оснований математики.

Множества наибольшей мощности не существует, т.к. мощность множества подмножеств исходного множества всегда больше мощности исходного множества.